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come troppo ovvie, o di scarso interesse, da altre che sono veramente im- 

 portanti. Fra queste ultime van messi i nuovi risultati sulle terne di te- 

 traedri, che egli chiama fasciali, e che C, Stéphanos aveva chiamati desmici. 

 La 2 a Memoria approfondisce appunto quei tetraedri, e le superficie del 4° 

 ordine che fannp fascio con essi, ottenendone nuove interessanti proprietà. 



L'anno 1880-81 Veronese fu a Lipsia, a fruire di un posto di perfe- 

 zionamento che aveva ottenuto. Insegnava allora in quell'Università F. Klein; 

 e fu questi che esercitò su di lui una speciale impressione, e che gli fu 

 largo (come Veronese scrisse) di ogni sorta di consigli e d' indirizzi. Frutto 

 di quell'anno fu, anzitutto, la celebre Memoria [n. 8] (*), pubblicata in 

 tedesco nel voi. 19° dei Mathematische Annalen, che fa epoca nella storia 

 della geometria projettiva degli spazi superiori. 



Com'è noto, si avevano già da tempo uumerose ricerche di geometria 

 iperspaziale (*). Lasciando da parte Y indirizzo metrico-differenziale che si 

 riattacca specialmente a Riemann, e guardando solo all' indirizzo projettivo 

 e in particolare agli enti algebrici, eran noti vari risultati staccati; come 

 taluni della grande terna di geometri inglesi, Cayley, Sylvester, Salmon, a 

 cui più tardi s'aggiungeva Clifford; altri della scuola tedesca che si riat- 

 tacca a Plùcker, Grassmann e Clebsch, tra i quali si posson citare i lavori 

 del norvegese S. Lie e quelli di Noether, Brill, Klein, Frahm, Voss; in 

 Svizzera le ricerche di Schiarii ; in Francia di Jordan e Halphen ; in Italia 

 di D'Ovidio. Ciò, limitandosi alle cose di maggior momento ; e prescindendo 

 anche da quei lavori, per esempio di Reye, che, pur senza usare locuzioni 

 iperspaziali, indagavano problemi relativi, in sostanza, al campo che stiamo 

 considerando. 



Ma i fatti projettivi che s'imparano da quegli studi riguardano gene- 

 ralmente argomenti staccati. In essi gli spazi superiori son concepiti anali- 

 ticamente; oppure i punti di quegli spazi non sono altro che enti geome- 

 trici dello spazio ordinario dipendenti da più parametri (così, ad esempio, 

 per Cayley, Pliicker, Halphen). Si procede con una certa timidezza. Pochi 

 osano dire esplicitamente, come facevano Grassmann e Sylvester, che la 

 scienza dell'estensione deve essere studiata negli spazi a quante si vogliano 

 dimensioni ! 



Colla Memoria di Veronese si può dire che la geometria projettiva di 

 questi spazi è per la prima volta organizzata e svolta sistematicamente, 

 «ome scienza geometrica, e non .come una specie di analisi travestita. Per 

 Veronese gli elementi generatori degli spazi superiori non sono più elementi 

 di natura qualsiasi, bensì i punti tali quali ce li immaginramo nel nostro 



( x ) Preannunciata nelle Note n. 1 6 e 7. 



(») V. più minuti particolari nell'introduzione storica del mio articolo Alehrdimen- 

 siona.e Eàume, nella Encyklopadie der mathem. Wissenschaften. 



