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spazio; e con essi si formano le diverse varietà e corrispondenze, si opera 

 con projezioni e sezioni, ecc., come nella geometria ordinaria. Vengono stu- 

 diate le projettività ; e con forme fondamentali delle varie specie riferite 

 projettivamente si generano varietà algebriche molto generali, fra le quali 

 poi T Autore approfondisce parecchi casi speciali. Per le curve algebriche 

 dello S„ (di cui già Brill e Noether, e poi più esplicitamente Clifford, 

 avevan dato delle proprietà fondamentali), vengono assegnate formole gene- 

 rali che ne legano i caratteri, analogamente a quelle di Plucker e Cayley 

 per le curve ordinarie. 



Un altro grande merito del lavoro è l'aver introdotto l'uso sistematico 

 della projezione di una conveniente figura iperspaziale sul piano o nello 

 spazio ordinario, per ottenere le proprietà di una data figura del piano o 

 dello spazio. Veronese rileva che può essere più facile, o più luminoso, lo 

 studio d'ella figura iperspaziale: e che inoltre questa figura, variamente pro- 

 jettata, può dare ne) piano o nello spazio diverse sorta di enti geometrici. 

 Questo metodo viene da lui applicato a talune configurazioni di punti, rette 

 e piani; alle curve razionali d'ordine n (o minore), che l'Autore dimostra 

 esser projezioni di quella appartenente ad S„ ; alle superficie rappresentabili 

 sul piano mediante sistemi di curve d'ordine m (o minore), le quali risultano 

 tutte projezioni di una notevole superficie d'ordine m 2 dello spazio di di- 



m(m-\-S) 

 mensione r- 1 — 



a 



Il procedimento usato è generalmente sintetico; ed è quello che, dopo 

 la Memoria di Veronese, tenderà a prevalere nella Geometria projettiva 

 iperspaziale. 



Numerosissimi furono gli scritti, specialmente italiani, che vennero, su- 

 bito dopo di questo, a completare od a proseguire le ricerche ivi contenute, 

 e che contribuirono a provare ulteriormente l'importanza di quei metodi. 



Possiamo mettere con essi due altri lavori dello stesso Veronese. Nel- 

 l'uno [n. 12] ( 2 ) si fa la Geometria descrittiva dello spazio a 4 dimensioni 

 analogamente a quella dello spazio ordinario; e cioè la projezione centrale 

 dello S., su S 3 , rappresentando rette, piani e spazi colle tracce e cogli ele- 

 menti di fuga ; poi la projezione ortogonale, ecc. Così Veronese dimostrava 

 nel modo più intuitivo la possibilità di una geometria iperspaziale, i cui 

 punti sono della stessa natura che i punti ordinari ( 3 ). L'altro scritto [n. 15] 



( x ) Anche notiamo che da curve iperspaziali prive di punti singolari, con conve- 

 nienti projezioni, l'Autore ottiene curve piane e sghembe dotate di singolarità. 



( 2 ) Presentato all' Ist. Veneto nel maggio 1882; ma già un anno prima l'Autore ne 

 aveva comunicato i principali risultati nel Seminario matematico diretto dal Klein. 



( 3 ) A quel lavoro si collega la breve Nota 14] in cui, facendo la proiezione 

 eentrale dell'intersezione di due V3 coni di S4, si ottiene una costruzione semplice della 

 superficie del 4° ordine a conica doppia, dei suoi piani tangenti, ecc. 



