— 255 — 



elementare. Nacque così, come frutto di un assiduo lavoro di quasi dieci 

 anni, un'opera di grande mole [n. 17], subito ristampata in tedesco [n. 21], 

 il cui titolo, Fondamenti di geometria a più dimensioni e a più specie 

 di unità rettilinee, esposti in forma elementare, mette in rilievo due fatti. 

 L' uno è che si tratta della parte fondamentale, elementare, non delle parti 

 più alte, della Geometria a più dimensioni. L'altro fatto, a cui alludono le 

 varie « unità rettilinee » , è che in questa opera, per la prima volta, si fa 

 una Geometria che non si basa sul così detto assioma 5° d' Archimede. Così 

 a Veronese spetta il vanto di avere dato, dopo la grande invenzione della 

 Geometria non-Euclidea, un secondo esempio di Geometria diversa da quella 

 tradizionale: la Geometria non- Archimedea (*). I segmenti rettilinei che 

 compaiono in questa Geometria possono essere, gli uni rispetto agli altri, 

 infiniti o infinitesimi. Si ha una classe di numeri trasfiniti (diversi da 

 quelli di G. Cantor). La natura delicata dell'argomento, e un po' anche una 

 certa oscurità e trascuranza nell'esposizione, hanno permesso che si elevas- 

 sero dei dubbi sulla solidità dell'edilizio non-Archimedeo di Veronese. Ma 

 i dilucidamenti forniti da questo e più ancora dal Levi-Civita, e certamente 

 anche il fatto che, più tardi, Hilbert per via analitica semplicissima ha 

 pure mostrato la possibilità logica di una Geometria non-Archimedea, hanno 

 fatto tacere le discussioni che s'eran sollevate al riguardo ( 2 ). 



Molte altre cose originali s' incontrano nel libro dei Fondamenti. Così : 

 una trattazione della corrispondenza biunivoca di uguaglianza delle figure, 

 che esclude completamente l'uso del movimento; una definizione di rette 

 parallele (come rette simmetriche rispetto ad un punto), che non esige la 

 precedente cognizione del piano, e permette in compenso una dimostrazione 

 della proprietà fondamentale del piano (che la retta congiungente due punti 

 di questo giace in esso) ; tutto lo svolgimento fatto in modo da tener conto 

 sì della geometria euclidea, come di quelle non-euclidee. 



Dai Fondamenti Veronese trasse poi, aiutato da Paolo Gazzaniga, il 

 materiale per un trattato di Geometria elementare [n. 25], notevole sotto 

 vari riguardi : sia per le originali trattazioni di alcune teorie fondamentali 

 testé accennate, a cui qui vanno aggiunte anche la teoria dell'equivalenza ( 3 ) 

 e quella delle proporzioni; e sia perchè in questo trattato, come già nei 

 Fondamenti, l'analisi dei fatti che la Geometria trae dalla osservazione em- 

 pirica, anzi che dal ragionamento, è spinta più innanzi di ciò che non si 

 fosse fatto nei trattati elementari precedenti. L'opera, variamente presentata 



(') Nella Memoria n. 16 è minutamente analizzato il legame dell'assioma d'Archi- 

 mede coi postulati della continuità. 



( a ) Su queste discussioni (e anche sulla questione di priorità) versano parecchie 

 delle Note, che nell'elenco portano i n. 1 19 e segg. 



( 5 ) V. su questa la Nota n. 22. 



