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e per h numero 



(15) div,, (h grad a <jp) = div (h grad„ y) , 



(16) n X rot a grada <f> — ; 



la cui dimostrazione non presenta difficoltà. 



Possiamo ora domandarci di assegnare le soluzioni più generali delle 

 equazioni 



(17) dÌVall = , rota 11=0. 



La prima equivale alla 



di? u = n X — n . 



dr 



Se quindi poniamo, con m numero e v vettore da determinarsi: 



u = m n -J- n° A v , 



si ottiene subito 



m div n = n X rot v 



ed anche, per le (5), 



m diva n = il X[rot a V ; 



e questa, per div n =f= , determina il numero m, mentre v resta arbitrario. 

 Quindi la soluzione più generale della prima delle (17) è 



n X rota v 

 u - — -. n + n A v 



dlVa 11 



con v arbitrario. In?particolare, assumendofv - - gradfy , si ha la soluzione 

 u = n A grad <p =[njA grad, y . 



Se poi div il = (caso delle superncie a curvatura media"nulla), per 

 la risolubilità della prima delle (17) occorre che n Xgrot'y = Oj ed m ri- 

 sulta arbitrario. 



Applicando lo stesso metodo alla seconda equazione, per la (4) otteniamo 



grad »iAn + (div v — — j n — I div n — \ x = n X — n . n — n; 



ossia 



(18) grad m A n + n div v — v div n -j- v = n X ~ n . n . 



