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Cosi potrò infine, in una terza ed ultima Nota risolvere, come semplici 

 esempì di applicazione delle considerazioni che avranno preceduto, tutte le 

 questioni poste e non esaurite nelle diverse discussioni ricordate in principio. 



Le nozioni generali di omogeneità e di similitudine. 



3. Per lo scopo che mi prefìggo è necessario di considerare queste no- 

 zioni fondamentali nella loro forma più generale e quindi di evitare di 

 concepirle secondo il procedimento ordinariamente usato, che le pone quando 

 è già stato scelto, per le diverse entità fìsiche, un determinato sistema di 

 dimensioni e ad esso le riferisce, perchè in questo caso si ottengono le 

 espressioni, non già delle nozioni pure, ma di ciò che esse divengono in 

 conseguenza di quella speciale scelta. 



Bastano d'altra parte semplicissime considerazioni per convincersi che 

 tali nozioni sono precedenti a qualsiasi scelta di sistemi di dimensioni: 

 anzi, risalendo ancora in questo senso, si vede senz'altro la possibilità di 

 porre una nozione di similitudine, e quindi quella di omogeneità, ancor più 

 primitive, precedenti non solo a qualsiasi scelta di sistema di dimensioni, 

 ma anche all'ammissione di quelle relazioni fra le differenti entità fisiche, 

 che permettono d'ordinario di ricondurle tutte ad un ristretto numero di 

 esse. Questa similitudine sarebbe assai più ampia della consueta, ma con- 

 veniente soltanto ad una scienza nei primi stadi del suo sviluppo. 



4. Per fissare queste idee con un esempio, consideriamo per semplicità 

 e brevità il solo caso geometrico e, dapprima, una geometria che. avendo 

 superato di poco il suo primo stadio qualitativo, sia giunta solamente a 

 riconoscere le relazioni esistenti fra entità di una stessa specie, per es. i 

 rapporti fra il diametro e la circonferenza nel cerchio, fra la superficie di 

 un cerchio e quella del quadrato ad esso circoscritto, fra il volume dei 

 coni e quello dei cilindri di egual base e di eguale altezza, ecc., ma che 

 non sia ancora giunta a riconoscere le relazioni che permettono di ricon- 

 durre le tre nozioni di lunghezza, superficie e volume ad una qualsiasi di 

 esse. Questa geometria, estremamente povera, avrebbe però sempre le sue 

 possibili leggi espresse con equazioni omogenee, anzi triplicemente omogenee 

 per rapporto alle lunghezze, alle superficie ed ai volumi, e corrispondente- 

 mente ammetterebbe una similitudine più ampia dell'ordinaria, ossia a tre 

 rapporti indipendenti. Dette quindi / ,S e V rispettivamente le lunghezze, 

 le superficie e i volumi in un dato sistema geometrico U, S' e V le omo- 

 loghe entità in un altro sistema U' e X , <s e £ tre parametri arbitrari, le 

 espressioni delle leggi di quella geometria ammetterebbero il gruppo di 

 trasformazioni : 



(1) l'=Xl . S' = ffS , v = tv, 



e in essa il secondo sistema U' sarebbe simile al primo U. 



