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Solamente dopo che tale geometria avrà riconosciute le relazioni esi- 

 stenti fra le tre entità l \ S e V, potrà arricchirsi di molte altre leggi; 

 ma da allora fra i parametri X , a e dapprima arbitrari, sussisterà il 

 vincolo di essere fra di loro nel rapporto, rispettivamente, di n , n 2 e ti 3 , 

 ciò che ridurrà l'omogeneità di quelle equazioni e la corrispondente simili- 

 tudine ad avere effettivamente un solo rapporto arbitrario. 



Colla libera convenzione di assumere come fondamentale l'entità di 

 lunghezza e come derivate le altre due, si costituirà poi il sistema ordi- 

 nario delle dimensioni geometriche e si giungerà finalmente al consueto 

 gruppo delle trasformazioni delle equazioni della geometria: 



(2) l'=XÌ , S' = A 2 S , V'=>l 3 V 



che evidentemente è un sottogruppo del gruppo (1). 



5. Ai precedenti successivi passi nella posizione delle nozioni dell'omo- 

 geneità e della similitudine geometrica corrispondono esattamente omologhi 

 successivi passi nelle posizioni delle corrispondenti nozioni fisiche. 



Così, partendo da un omogeneità molto generale e specificando succes- 

 sivamente, a seconda di opportune teorie di dimensioni, si potrebbe giungere 

 a diversi particolari sistemi di equazioni di trasformazione; per esempio, 

 nel caso che si ammetta l'ordinaria teoria delle dimensioni e si assumano 

 come fondamentali le entità lunghezza, tempo, massa, temperatura e quan- 

 tità di elettricità, si giungerà alle equazioni : 



l' = Il per le lunghezze m = 



S' = A 2 S per le superficie f = 



V'= X 3 V per i volumi E' = 



(3) 



u 



t' = t t per i tempi 

 v' = Xr~ l v per le velocità 

 a == Xt~ % a per le accelerazioni 

 v' — %~ x v per le frequenze 



in m per le masse 



At -2 ^ f per le forze 



X 2 t~°- ii E per le energie 



X~ l i- 2 fiu, per le densità di energia 



T' = # T per le temperature 



e ' — V e P er ' e quantità di elettricità 



E' = At~ 2 ,« e E per l' int. del campo elet. 



Esse formano evidentemente un gruppo, sottogruppo di una serie di 

 più ampi gruppi di trasformazione, che per brevità non abbiamo scritto, 

 corrispondenti a tìsiche più povere, che ignorassero in tutto o in parte i 

 rapporti fra le diverse entità, per es. la possibilità di ricondurre le entità 

 dinamiche a una geometrica, una cinematica e ad una qualsiasi di esse. 



Colle equazioni (3) quindi non è atfatto espressa la pura nozione di 

 similitudine tìsica, ma bensì ciò che essa diventa, dapprima, per certe deter- 



