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Matematica. — Hamiltoniani e gradienti di hamiltoniani e 

 di gradienti, laplassiani, parametri differenziali. Nota I di A. 

 Del Re, presentata dal Socio V. Volterra. 



La presente Nota, e due altre che le faranno seguito sull'argomento, 

 sono collegate con quelle che già fecero comparsa nei Rend. della R. Acc. 

 di Napoli (*), ed in questi medesimi Rendiconti ( 2 ) relative ad hamiltoniani 

 e gradienti, e con un'altra che comparirà prossimamente nei Rendiconti del 

 R. Istituto Lombardo ( 3 ). Tenuto conto che, dalla applicazione di hamilto- 

 niani e di gradienti, ad una funzione scalare od estensiva U a più varia- 

 bili, nascono di nuovo funzioni scalari ed estensive, la quistione di esami- 

 nare come si presentano gli hamiltoniani ed i gradienti di hamiltoniani e 

 di gradienti d' una stessa funzione U , nelle loro forme di riduzione ultimata 

 (forme tipiche), diviene essenziale, non soltanto per la necessità d' impri- 

 mere rapidità di maneggio al calcolo in tutte quelle volte nelle quali sif- 

 fatti operatori entrano in giuoco, ma pure perchè, con la quistione istessa 

 vengono a far comparsa nuove funzioni invariantive e nuove relazioni, fra 

 cui qualcuna apparve già (da altri punti di vista), in ricerche coordinate ai 

 potenziali in più variabili (cfr. specialmente la 2* delle altre due Note 

 suddette). 



Le funzioni da esaminare (per le definizioni e le notazioni ci mante- 

 niamo conformi ai lavori precedenti) in simboli si presentano come segue: 



(1) Vn(GnU) , G a (V n U) . V n (V n U) , G n (G n U); 



ma, di esse, soltanto le prime tre, e l'ultima parzialmente, vengono ad es- 

 sere prese in considerazione nella presente Nota. 



1° caso: Vn(GnU). Dalla definizione stessa di V n 6 Gn segue 



essere 



Vn (Gn U) = V n j ^ E, + ^ E 2 + • + ~ E™ ! ; 



(') Gli hamiltoniani ed i gradienti etc. (NI, NII), 1 ed 8 luglio 1916; Gli hamil- 

 toniani ed i gradienti rispetto a formazioni non interamente libere, 7 novembre 1916. 



( 2 ) Gli hamiltoniani ed i gradienti di formazioni estensive etc, fase. 6°, set- 

 tembre 1916; Proprietà generali degli hamiltoniani e dei. gradienti eie, fase. 7°, 8 ot- 

 tobre 1916; Gli hamiltoniani ed i gradienti del prodotto di due formazioni estensive, 

 fase. 9°, 5 novembre 1916. 



( 3 ) Hamiltoniani e gradienti particolari nell'analisi etc, novembre 1917 (in ap- 

 presso verrà indicata con u N. Ist. L. ». 



Rendiconti. 1917, Voi. XXVI, 2° Sem. 



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