e quindi, visto che Gn U è di specie q, sarà Vn(G n U) eguale alla diver- 

 genza di G n U (N. Ist. L., n. 1); cioè si avrà 



«2» ^U)-(-.r(^ + f + ,. + ^). 



2" caso: Gn(VnU). Analogamente a quanto si è testé detto, tenuto 

 conto che V n U è di specie g' = w -j- 1 — ^ . si ha 



(3) Gn (VnU) = ( — 1)PC j G n (— 1)PP' 3^- |Ej -) h Gn (— ì )PP' ^ | E m | 



= G a r — |Bi + G n ^- |E 2 H — + G n |E W ; 

 ovvero, per essere (E,- 1 E,) =1 , (E,- 1 E ft ) = (* , k = 1 , 2 , ... , m) : 



(4) 0a(VaID __ + _+... + — 



La funzione scalare, a secondo membro della (4), sarà detta laplas- 

 siano della U, e sarà indicata con L n TJ. Così, mentre per le (2) , (4) 

 possiamo simbolicamente scrivere 



Vn(GnU) = (-l)PP'L n U , G a (VnU) = L n U, 



da cui deducesi 



(5) L n U = G n (Vn U) = (- 1 )PP' Vn (Gn U) , 



in linguaggio ordinario possiamo dire: 



a) 11 gradiente \_l' hami Montano} dell' hamiltoniano [del gradiente} 

 di una funzione scalare U eguaglia V hamiltoniano [il gradiente} molti- 

 plicato per ( — 1)PP', del gradiente [dell' 'hamiltoniano'} di U, e vale il 

 laplassiano di U [moltiplicato per ( — 1)PP']; sicché: 



§) Il laplassiano di una funzione scalare U mentre eguaglia sempre 

 il gradiente dell' hamiltoniano di U, eguaglia V hamiltoniano del gradiente 

 di U , soltanto rispetto a formazioni di specie pari in qualunque spazio 

 e rispetto a formazioni di specie dispari in ispazii a numero pari di 

 dimensioni. 



In grazia della definizione di divergenza (cfr. N. Ist. L.) di una fun- 

 zione estensiva, quando per questa si prende GnU, e del 1° caso prece- 

 dente, a fianco della (5) possiamo scrivere 



(6) L n U = (-l)PP'Dn(GnU); 



vale a dire, in linguaggio ordinario : 



Il laplassiano di una funzione scalare D vale la divergenza, mol- 

 tiplicata per ( — 1)PP', del gradiente di U. — Con significato evidente per 



