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le abbreviazioni di parole introdotte, ma con l'intesa che non è opportuno 

 abusarne nei calcoli, anche per l' incertezza che potrebbe seguire dalla com- 

 pleta soppressione della il. alle (5) , (6) potrebbero sostituirsi le seguenti: 



(5') grad ham U = (— 1 )??' ham grad U = lap U 



(6') lap U ==(— 1)PP' div grad U ; 



sicché, in ogni spazio rispetto a formazioni d'ordine pari, ed in ispazii 

 ad un numero pari di dimensioni pure rispetto a formazioni d'ordine 

 dispari, vale la relazione 



(7) lap U = div grad U, 



mentre che negli spazii ad un numero dispari di dimensioni, rispetto a 

 formazioni d'ordine dispari, vale l'altra 



il') lap U = — div grad U. 



Un breve esempio al riguardo non è senza interesse presentarlo qui. 

 Sia O, nello spazio ordinario misto di punti e vettori, il punto (o il vettore) 



(8) Cl = e-\- xi -f- yj + zk (o n = xì -f- yj + sk) 



« sia U(x,y,z) una funzione di esso punto (o vettore); siccome si ha, 

 per entrambi 1 casi, n = 3 , q = 1 , q' = n -j- 1 — (? = 3 , così sarà 



W aÌTgraat ,__(^2 + ^ + ^. 



K ' 8 \ ìx* * Ti;'/ 2 ^ 2 / 



Se, in vece, si suppone fi essere un vettore nello spazio vettoriale puro, 

 ed U la medesima funzione testé considerata; siccome, in tal caso, si ha 

 n = q' = 2 , q = 1 , così sarà 



(8 „, divgradu = VD + 2!D + ^£. 



v ; 7)// 2 1 ìz 2 



3° caso. Vn(VaU). Dalla espressione del V n per funzioni scalari 

 segue essere: 



(9) V Q (VnU) = V„ J (- 1)^ [E, + £ \K + ■ ■ ■ + £ | E.) j ; 

 e quindi, poiché ora è (con riferim. alla espress, di VnU, per U di specie e) 



cr=«o',(/-|-o'<^-f _ i . d'onde 2q' <i n -\- \ , sarà : 



