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Matematica. — Hamiltonìani e gradienti di hamiltonìani e 

 di gradienti, tapiassiani, parametri differenziali. Nota II di A. 

 Del Re, presentata dal Socio V. Volterra. 



Nella precedente Nota dal medesimo titolo, inserita in questi medesimi 

 Rendiconti ('), e che nel seguito indicherò con (H di G., I), mi sono occu- 

 pato di esaminare la forma ultima che conviene alle funzioni rappresentate 

 in simboli da Vn(GnU) , G n (VnU) e V n (V n U); ma della terza con 

 eccezione del caso in cui si abbia 2q ^ n -f- 1 [notazioni e definizioni re- 

 stano qui le medesime di quelle adoperate in (H di G., I)] che. come ivi 

 si disse, fu presentato senza tutte le conclusioni di cui è suscettibile. Ora, 

 con la Nota presente mi occupo di colmare una tale lacuna e di trattare 

 della funzione rappresentata dal simbolo G n (G n U), l'ultima fra quelle enu- 

 merate in (H di G., I). 



1. a) Riferendoci alla (14) della (H di G., I), cioè alla 



(1) Va (Va U) = 2^ -f~- | E, E ft (i , k = 1 , 2 , ... , m ; i < k) 



per 2q <. «-f-1, ovvero q troviamo che, nella espressione a 2° membro, 

 sono nulli tutti i termini pei quali un E; ha almeno un vertice della pira- 

 mide di riferimento P in comune con E fr (il prodotto E, E ft , per la suppo- 

 sizione fatta su e , è progressivo); epperò, se, per ogni E;, indichiamo con 



E,, , E,„ , ... , E^ fi = ( n ' * ^ i Q-spigolì della (n -f- 1 — p) -piramide 



che risulta dalla P dopo averne tolto il q spigolo Ej , avremo che saranno 



nulli i prodotti E, E s per quali è k =}= u (v = 1 , 2 n) mentre che sarà 



E,- E iv = Ei V E, per tutti i valori di v . Perciò, ove fissato il posto che com- 

 pete alla E, v dell'ordinamento Ej, , E <a , ... , E,^ nell'ordinamento Ej , E 2 , ... , E m . 

 si tenga ancora conto della condizione i <^k , si avrà, nel caso in esame, 

 per Vn(V n U) l'espressione 



(2) V n (Vnii') = 2^ £ - | E* E iv . 



i=I ^"i d»i d«iv 



Questa abbraccia, evidentemente, \m/x termini siccome risulta dalle limi- 

 ti 



fazioni dei due sommatori e dalla condizione i <Ck(=U); e tanti effetti- 



(') Fase. 11°, 2° sem., 1917. 



