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rispetto alla formazione Sì Y<1 . = w ri E] -f- fv 2 E 2 + ■ • • + E ( ,. contenuta, 

 evidentemente, nella Sì; poiché allora si ha, al posto della (2), la seguente 



(2') V n (VnU)= Y -^-|E,; 



e da questa si arriva di nuovo, nel caso 2p = n -f- 1 , per essere fi = 1 , alla 



(3) che fornisce la Vn(V n U) sotto forma di divergenza nel modo indicato. 



2. Caso del G n (G n U). — a) Se 2q < n + 1 * tenuto conto che 

 ( — 1)P' 2 = (— 1)p e che EfE ft = ( — l)PE ft E,-, si avrà successivamente: 



G* (GnU) = (- 1 )P j G n ^ E, + G n ^ E 2 H h G n ^ E w ! 



Ga (G n U) = ( - 1)P 2 T^T" ( B < E * + E * E «) = 



= (-l)P[l+(-l)P]V-^-E ; -E ft ; 



d'onde 



(4) G n (G a U) = [1 + (- 1)P] 2 Bi E, 



per tutti i valori di i , /£ da 1 ad m , e con i<^k . 



In modo analogo, se 2p » -}- 1, essendo ( - lf n = ( — 1)?' , E{ E ft = 

 = ( — l)P r EftEj (il prodotto EjE ft è ora regressivo), si avrà l'analoga della (4): 



(4') G n (G n U) = [1 + (- 1 )P'] 2 r~- E !: E, 



con l'analoga estensione pel 2' e C0D ^ a differenza che nella (4) i prodotti 

 Ej E ft sono progressivi. Dalla (4) segue che, se q è dispari e non supera 



n-\-\ 



— - — il G xl (G n U) è identicamente nullo ; e della (4') segue che altrettanto 



Ci 



avviene ove q superi n ~j~ ^ - e sia di parità diversa con n -j- 1 . Sicché, 



in linguaggio ordinario, possiamo dire: In imo spazio ad un numero qual- 

 siasi n di dimensioni, il gradiente del gradiente di una funzione sca- 

 lare U è identicamente nullo nei due casi seguenti: 1°) Se l'ordine g 

 della formazione rispetto alla quale si opera è dispari e non supera la 

 metà di quel numero di dimensioni aumentato di 1; 2°) Se g, superando 

 questa metà, ha la medesima parità di tal numero di dimensioni. 



Nei casi eccettuati dal precedente teorema alle (4), (4') si può dare 

 la forma unica 



(5) G a (G n TJ) = 22r^-E t -E ft {i , k = 1 , 2 , ... , m ; i < k) . 



Rendiconti. 1917, Voi. XXVI, 2° Sem. 41 



