— 328 — 



Assumiamo ancora il sistema di dimensioni l,t,m,T e proponiamoci 

 di prevedere la relazione di regime fra la densità u dell'energia irraggiata 

 da un corpo nero e la temperatura T "dell'ambiente. 



a) Se ammettiamo che le dimensioni delle eventuali costanti univer- 

 sali, che possono intervenire nella relazione cercata, debbano essere tutte 

 esprimibili mediante le tre costanti universali ordinariamente usate, velocità 

 della luce c, costante dell'entropia k e costante di Planck h, dalle dimen- 

 sioni risp. [_lt~ ì ~] , p'r'mT'" 1 ] e [l* f 1 w]^ il problema si ridurrà alla 

 ricerca delle relazioni logicamente possibili della forma: u = f'(T , c , k . h). 



Possiamo usare indifferentemente il metodo delle dimensioni o quello 

 della similitudine (Nota II, 2) ponendo, nel primo caso, l'equazione dimen- 

 sionale \_l-H- 2 m] = [T] a - [^r'wT- 1 ] 1 , \_IH~ 1 w] a * , o, nel secondo 

 caso, servendoci delle formule di trasformazione (3) della Nota I, l'equazione 

 funzionale f(T , e , k , h) = X% 2 fr l f(&T ,Xt~ 1 c, X 2 %~ 2 fi&- X k , X 2 ^ 1 fi h). 



In entrambi i casi giungeremo all'unica relazione u = [c~ 3 k* h~ z ~] T 4 , 

 che è la nota legge di Stefau-Boltzmann colla costante universale espressa 

 in funzione delle c , k ed h assunte come fondamentali. 



(3) Se invece ammettiamo che le X , z ■ , fi e & delle dimensioni delle 

 varie costanti della teoria non possano essere completamente arbitrarie, ma 

 debbano soddisfare all'equazione X~\-t — fi = <> , e quindi che una costante 

 generica di quella teoria debba avere le dimensioni [l x t T mV- T x " l " T_ t''] , il 

 nostro problema si ridurrà alla ricerca delle possibili relazioni della forma 

 u = /'(T , [_P- F m?- T^-f'-] ) . Qui pure, tanto col metodo delle dimensioni, 

 qnanto con quello della similitudine, giungeremo all' unica determinazione 

 u = t~ 2 m T~ 4 ] T 4 , che è appunto la precedente legge di Stefan Boltz- 

 maun, colla costante universale espressa direttamente in funzione delle entità 

 fondamentali l , / ,m e T . 



y) Ricorriamo finalmente alla particolare forma di similitudine la 

 quale, per tutte le trasformazioni che può ammettere, lascia invariate le 

 c, k ed li del caso a o la generica costante vincolata del caso §. Le sue 

 formule di trasformazione, come è facile verificare, formeranno un sottogruppo 

 deducibile dal gruppo generale delle (3) della Nota I, quando si faccia 

 X — x , r — x , fi = x~ l , D = x~ l . Non sarà allora più necessario con- 

 siderare esplicitamente le dimensioni delle eventuali costanti universali, ma 

 basterà cercare le relazioni della forma u — /(T) che rimangono invariate 

 per quelle trasformazioni. Verremo così a porre la equazione funzionale 

 f(T) = x i /(ar 1 T) , la quale è evidentemente soddisfatta solamente dal- 

 l'ammissione u = Cost. T 4 che è appunto la legge di Stefan Bolt/.mann 

 nella sua forma consueta. 



4. A formule di trasformazione corrispondenti a quelle generali, quando 

 si faccia X = % , % = x , fi — ir -1 , i) = x~ l , rj = x° = 1 , e che quindi 

 lasciano invariata, oltre le c, k ed h, anche la costante dielettrica £ e in 



