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anche le direzioni, corrispondenti ; con XP , X i!r (r = 1 , 2 , 3) i sistemi coor- 

 dinati contravariante e covariante della congruenza Sussisteranno le 

 relazioni di ortogonalità 



(3) y r X ilr X^ = €i1l (*,#=1,2,3), 



col solito significato delle e iJk (0 per z =^= k e 1 per i = k). 



La derivata di una qualsiasi funzione v rapporto all' arco della 

 linea i è evidentemente espressa da 



le v r rappresentando [come già nelle (I)] derivate (ordinarie, o, ciò che fa 

 lo stesso, covarianti) della funzione v . 



Gli invarianti differenziali di prim'ordine relativi alla terna sono (tutti 

 e soli) i coefficienti di rotazione di Ricci : 



(5) ym = - Ym = T„ X m *>? (h , i, k = 1 , 2 , -3) . 



i 



Tra gli invarianti di secondo ordine meritano speciale attenzione i seguenti : 



(6) YiJM = — + I Yijhf (Yh'hk — Yh'kh) + Yh'ih Yh'jh — Yh'ih Yh'jh ( 



(»,/, h,k=l ,2,3), 



legati ai simboli di Riemann e ai parametri di direzione della terna dalle 

 relazioni 



3 



(7) Yv,Mi = ^Lrspq a **m • 



Giova ricordare altresì che. per le varietà ternarie — ed è il caso nostro — 

 le y con quattro indici si riducono sostanzialmente allo schema 



(6) Yih == Yhi == Yi+1 J-H &+S == Yl + ii + l , ft-t-l == /i-t-l 1+2, A + 2 JE+1 



(» , A 1 , 2 , 3) , 



colla solita convenzione di risguardare equivalenti gli indici che differiscono 

 per multipli di 3 . 



Le y ih si comportano rispetto ai simboli a ik di Ricci come le y a 

 quattro indici rispetto ai simboli di Riemann, avendosi, in luogo delle (7)» 

 le formule più semplici 



(7') r*-Ìr *i* t 



