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che si possono anche scrivere sotto la forma equivalente 



3 



(7") CCrp = 2_ftW Yh'V ^'\r ìrf\p • 



l 



Se ne trae, per derivazione covariante, 



OC rpq = y wv \ -~ X h ' ìr -(- Yh'h'{^h'\rq &k'\p ~\~ ^h'\r hi'\pq) \ ■ 



l { aX q J 



A queste equazioni covarianti (rispetto ai tre indici p , q ,r) se ne possono 

 sostituire altrettante singolarmente invarianti, col criterio abituale di satu- 

 rare gli indici. Basta moltiplicare per X { f Xff e sommare rispetto ai tre 

 indici p , q , r . 



Badando alle (3) e (5), risulta 



(8) i_ m «™ ir c *ì° = ^ + £ (» w» + * *») • 



3. — Trasformazione delle condizioni di integrabilità 

 e delle equazioni di Bianchi. 



La stessa saturazione degli indici (moltiplicazione per, ttp W e 

 somma rapporto a p , q , r) può essere applicata alle condizioni di integra- 

 bilità (1). Gioverà preventivamente immaginare sostituita nell'ultimo somma- 



torio, al posto di v Cs> , l'espressione [equivalente in base alle (4)] — Aj s) . 

 Ove si tenga conto altresì delle (8), (3), (4) e (7), si ricava 



+ yih dT k - yi «dT h -^ y ^ h 'dT j =0 - 



Nell'ultimo termine compariscono ancora le y con quattro indici, che si 

 riconducono, quando si voglia, a quelle a due, in base alle (6'). Basta pren- 

 dere le mosse dall'osservazione che i primi membri delle (9) sono emisim- 

 metrici rispetto ai due indici h e k, cambiando unicamente di segno, quando 

 si scambiano h e k. Si può perciò limitarsi a considerare nelle (9) tre com- 

 binazioni semplici dei due indici h e k, per es. le seguenti: 



h = i -f 1 , k = i + 2; 

 h = i -J- 2 , k — i ; 

 h = i , k = i -J- 1 . 



Se inoltre, in 



-j y<j < hk dlj ' 



