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Val quanto dire che le (12) si riducono a due sole algebricamente distinte 

 esprimenti che il prodotto 



(III) di yi = (2 = 1,2,3) 



è indipendente dall' ìndice i . 



Se, nelle (13), si cambia i in i -f- 1 (il che implica i -j- 1 in i -\- 2 

 e ?-j-2 in ?'). e poi, senza toccare l'indice si scrive materialmente & 

 al posto di e j al posto di i-\-2, si ottiene (invertendo anche il 



segno) 



(IV) ^ -f (wì — (o h ) y m -f ^ — w,) =^U . 



A questo stesso schema si riducono le (14), cambiandovi prima i in i -f- 2, 

 e poi scrivendo, senza toccare t , A in luogo di ?-J- 2 e j in luogo di z'-j-l. 



In definitiva, te (IV) sostituiscono opportunamente entrambi i gruppi 

 (13) e (14), coll'inlesa che rappresentano tre indici distinti. 



Accanto alle (III) e (IV) vanno pur prese in considerazione le (10), 

 che esprimono anch'esse condizioni di integrabilità (valide per qualsiasi 

 varietà a tre dimensioni, a differenza delle (III) e (IV) che provengono 

 specificamente dalle equazioni di Einstein). Tali equazioni, riferite anche 

 esse alla terna principale mediante le (11), assumono l'aspetto, già segna- 

 lato dal Ricci, 



(17) ^ -f K — wì) ym = . 



Sotto questo aspetto si vede subito che si tratta di condizioni già im- 

 plicitamente contenute nelle (IV). in virtù delle (1*). Infatti immaginiamo, 

 nelle (IV) stesse, di attribuire a k i due valori diversi da i e di sommare. 



1 primi due termini, per essere nulla la somma delle « , dàuno — —j- ; 



gli ultimi due si elidono ; alla somma dei medi si può anche aggiungere 

 l'addendo (nullo) corrispondente alfvalore i di k. Risulta cosi 



— ^ + X* fa ~ •*) Yua = ' 

 ossia precisamente la (17). 



5. — Discussioni-; delle (III) e conseguente ripartizione degli spazi 



POTENZIATI VUOTI IN DUE TIPI A) E B). 



A norma delle (III), vi sono due tipi di metriche a priori possibili 

 negli spazi vuoti: il tipo A) corrispondente alla restrizione qualitativa 

 w ={= ; e il tipo B) caratterizzato dall'annullarsi di w . Non a caso ho 



Rendiconti. 1918, Voi. XXVII, 1° Som. 2 



