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Matematica. — Sulle varietà a tre dimensioni dotate di 

 terne principali di congruenze geodetiche. Nota I del Socio Gre- 

 gorio Ricci. 



In questa Nota ed in altra, che la seguirà da vicino, mi propongo di 

 determinare intrinsecamente tutte le V 3 , che godono della proprietà, che è 

 chiarita nel titolo. Con questo intendimento per ognuna di tali V 3 deter- 

 mino le teine fondamentali corrispondenti alle terne principali di congruenze 

 geodetiche, le quali quadrate e sommate forniscono poi una espressione 

 canonica del suo ds* 



Come è intuitivo, per lo spazio euclideo le terne anzidette sono tutte 

 e soltanto quelle costituite dalle rette normali ad un piano e da quelle 

 tracciate nei piani ad esso paralleli in modo che le rette giacenti sopra 

 uno stesso piano costituiscano un reticolato cartesiano ortogonale, il quale 

 ruota (e in particolare può mantenersi parallelo a se stesso) nel passare 

 da un piano all'altro. La infinità di tali terne è quindi rappresentata da 

 una funzione arbitraria di una variabile. 



Ogni altra varietà a tre dimensioni ammette una sola terna principale 

 di congruenze geodetiche o non ne ammette alcuna. In particolare ne am- 

 mettono una le V 3 a curvatura costante positiva (alla quale corrisponde 

 una speciale forma canonica per il loro ds z ); non ne ammettono alcuna 

 quelle a curvatura costante negativa. 



Per la proprietà caratteristica delle terne considerate sei delle rota- 

 zioni, che ad esse competono sono nulle. Vedremo che delle altre tre una 

 sola può essere variabile e perciò ripartiremo le V 3 , che formano oggetto 

 del nostro studio in due classi, assegnando alla I a classe quelle, per le 

 quali una rotazione è variabile, alla II a quelle, le cui rotazioni sono tutte 

 costanti. 



Per queste ultime sono conseguentemente costanti le tre anormalità, 

 cioè quelle semplici combinazioni lineari delle rotazioni, ciascuna delle quali 

 eguagliata a o rappresenta la condizione necessaria e sufficiente perchè una 

 congruenza della terna sia normale. Vedremo che un simultaneo cambia- 

 mento di segno di tutte le anormalità non ha importanza pel problema, 

 che ci siamo proposti e per conseguenza (prescindendo dallo spazio euclideo, 

 che del resto trova posto nella I a classe) le V 3 della II a classe si possono 



(') Cfr. Kicci, Sulla determinazione di varietà dotate di proprietà intrinseche 

 date a priori, Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, voi XIX. ser 5", 2° sem., se- 

 dute del 20 febbraio e del 7 agosto 1910. 



