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ripartire in tre sottoclassi assegnando alla l a quelle di cui due anormalità 

 sono nulle e la terza è positiva ; alla 2 a quelle, per le quali due anorma- 

 lità sono positive e la terza è positiva o nulla; alla 3 a quelle per le quali 

 due anormalità sono di segno opposto, mentre la terza è positiva o nulla. 



Un' unica espressione canonica per il proprio ds 2 compete a tutte le 

 varietà della I a classe ; ed altrettanto può dirsi per ciascuna delle tre sotto- 

 classi, che costituiscono la II a classe. Da ciò deriva la importanza della 

 classificazione riportata sopra e la opportunità di riferirla anziché ai valori 

 delle anormalità delle congruenze principali, a proprietà equivalenti di quegli 

 invarianti, che si considerano come più atti a caratterizzare intrinsecamente 

 una V 3 , voglio dire le sue curvature riemanniane principali. Se non che 

 una maggiore semplicità di risultati consiglia di sostituire a queste le loro 

 somme due a due, che a tenore di quanto ho proposto per le varietà in 

 generale, dovrebbero adirsi invarianti principali per le V 3 ('). 



Si può allora dire che: 



a) La P classe è costituita dallo spazio euclideo e da tutte le V 3 , 

 per le quali un invariante principale <w t è costante e negativo, mentre gli 

 altri due eguali e di segno opposto variano soltanto lungo le linee della 

 congruenza principale corrispondente ad <w, . 



b) La IP classe è costituita da tutte le V 3 , i cui invarianti prin- 

 cipali tutti costanti sono anche tutti positivi, ovvero, uno positivo e gli 

 altri due negativi, o in fine due nulli e il terzo diverso da e di segno 

 qualunque. 



In particolare appartengono alla sottoclasse l a tutte le V 3 , i cui inva- 

 rianti principali, eguali in valore assoluto, sono due positivi ed uno nega- 

 tivo; alla sottoclasse 2 a le V 3 , i cui invarianti principali sono tutti posi- 

 tivi, e quelle, per le quali uno solo di tali invarianti è positivo, mentre 

 degli altri (che sono insieme negativi o nulli) nessuno lo supera e uno al 

 più lo eguaglia in valore assoluto ; alla 3 a le V 3 , che ammettono un inva- 

 riante principale negativo e due nulli e quelle, che ammettono due inva- 

 rianti principali negativi, ed uno positivo in valore assoluto minore di uno 

 almeno degli altri due. 



Tutte le V 3 della ll a classe ammettono un gruppo transitivo a tre 

 parametri almeno di movimenti rigidi; a quattro parametri se due inva- 

 rianti principali sono eguali; a sei, come è ben noto, se lo sono tutti e tre. 

 Quelle di I a classe, escluso lo spazio euclideo, non ammettono gruppi di 

 movimenti rigidi (*). 



(') Cfr. Ricci. Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque. Atti 

 del R. Istituto Veneto, tomo LXIII, 1904, pag\ 1235. 



{') Cfr. Ricci, Sui gruppi continui di movimenti in una varietà qualunque a tré 

 dimensioni. Memorie della Società italiana delle Scienze detta dei XL, serie 3 a , tomo XII. 



