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I metodi e i procedimenti, che applicherò in queste ricerche, sono quelli 

 da me esposti nelle due Note sopra citate. Su di essi ritornerò brevemente 

 e per commodità del lettore e per aggiungere alcune considerazioni, che 

 troveranno poi applicazione. Essi, pure non giovandosi dell'algoritmo del 

 Calcolo differenziale assoluto, si inspirano al suo concetto essenziale, se- 

 condo il quale le equazioni poste a base di ogni ricerca non sono legate 

 alla scelta di particolari sistemi di variabili indipendenti. Questa viene 

 invece suggerita opportunamente dai risultati dell'analisi e dall'intento di 

 facilitarne gli ulteriori sviluppi e di rendere più semplici i risultati. 



1. Si consideri la metrica di ogni V 3 come intrinsecamente definita 

 da tre forme differenziali lineari indipendenti 



xpi = S r X i/r dx r ('), 



che vai quanto dire da una terna fondamentale di congruenze ortogonali t/>< 

 di equazioni differenziali 



Per il ds 2 della varietà si ba allora la espressione 



ds* = Si v>f , 



e ben s' intende che, data la V 3 , la terna fondamentale, che la definisce, è 

 determinata a meno di una sostituzione ortogonale. 



Per la definizione di una V 3 sono equivalenti due sistemi di forme 

 fondamentali tff t e (tpi) sempre che da ogni tpi si passi alla corrispondente (ipì) 

 mediante una trasformazione puntuale, o in altri termini, sempre che, posto 



sia integrabile il sistema 

 (1) (^ft p) = 2 r X h / r 



(xfji) = 2 p (X itp ) dy p , 

 7>;r r 



Si ponga 



](«) _ 1 ^ 



ofi-hlp 



(A) ^± - ^ = A «> - * Qih l?) , 



essendo 



a = 2i q u 



e designandosi con X il determinante (diverso da 0) del sistema di forme xpi. 



(') Qui, come in seguito, ogni indice fisso indeterminato si intenderà capace di assu- 

 mere ciascuno dei valori 1,2,3; e così ogni sommatorio si intenderà esteso ai valori 

 1,2,3 degli indici, cui si riferisce. Mi varrò pure della convenzione, per la quale sì 

 considerano come equivalenti gli indici, che differiscono per multipli di 3. 



