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Le g hh definite mediante queste posizioni costituiscono il sistema com- 

 pleto degli invarianti differenziali di 1° ordine del sistema di forme tyi 

 talché, designando con (Q hh ) le loro espressioni relative alle (xpì) le equazioni 



\Qhh) — Qhh i 



se non sono identicamente soddisfatte, sono da aggiungere alle (1). Nel 

 caso opposto (che si verifica soltanto se le qm e le (£ ftJi ) hanno valori co- 

 stanti identici), le (1) costituiscono un sistema completamente integrabile 

 e le (ipi) sono quindi equivalenti alle ipi . 

 Concludiamo che : 



« Una terna fondamentale ortogonale e quindi la corrispondente V 3 , 

 « per la quale gli invarianti differenziali di 1° ordine, devono assumere 

 « valori costanti dati, se esiste, risulta da questi valori completamente de- 

 « terminata » . 



Si consideri il triedro T avente per spigoli le tangenti positive alle 

 linee delle congruenze fondamentali uscenti da uno stesso punto P e come 

 senso positivo delle rotazioni intorno alla tangente (h) alla linea della con- 

 gruenza ip h si assuma quello, che va dalla tangente {h-\- 1) verso la tan- 

 gente (h -\- 2). L'invariante qm rappresenta la componente secondo (h) della 

 rotazione, che il triedro T subisce per uno spostamento infinitesimo del suo 

 vertice nella direzione {k) 



Ricordiamo ancoraché gli invarianti Qh+\h+z e — ■ Qh+2 a+i misurano le 

 proiezioni sulla tangente (h) delle curvature geodetiche delle linee appar- 

 tenenti alle congruenze tyh+t e tyh+i e che (scrivendo Q h in vece di Q hh ), 

 V invariante 



(2) a h — Qh+ì + Qh-tt 



si chiama, per la ragione già riferita, anormalità della congruenza ip h . 



Designatilo con dSh l'elemento lineare delle linee di questa congruenza, 

 con P ft)i il complemento algebrico dell'elemento q hli nel determinante \\Qij\\ 

 e poniamo 



(O) 0} hh = — — \- OQ hìi r /)ft — 2i Q hi Q ki . 



oSh+2 «JSs^i 



Una prima derivazione delle equazioni (A) e la successiva eliminazione 

 delle derivate seconde delle A fc/r , tenuto conto delle (A) conduce alle equa- 

 zioni 



(B) a>hh = «ss » 



le quali, se sono identicamente soddisfatte, ci assicurano della completa 



( 1 ) Cfr. Ricci, Dei sistemi di congruenze ortogonali in una varietà qualunque. 

 Memorie della Reale Accademia dei Lincei, ser. 5 a , voi. II, pag. 4. 



