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integrabilità del sistema (A), nel quale si considerino come date le qm e 

 come incognite le l hlr , mentre nel caso opposto sono da aggiungere al 

 sistema medesimo. 



L'essere poi, in luogo delle (B). soddisfatte le 



(BO a» M = (k 4= h) 



è condizione necessaria e sufficiente perchè le congruenze ip h costituiscano 

 nella varietà da esse definita una terna principale; di cui le w hh sono allora 

 le curvature principali riemanniane. 



2. Per quanto abbiamo sopra ricordato, l'annullarsi degli invarianti 

 Qh+ìh+2 e Qh+zh+i è condizione necessaria e sufficiente perchè le congruenze 

 xp h siano geodetiche. Tenuto conto di ciò e delle (2) se si esige che le con- 

 gruenze fondamentali siano geodetiche, le equazioni (A) assumono la forma 



, \ ~ì)^h ,'r-f l (il 1 3 % 



\ a ) a M*»+rr+i A »+2/r+! AA-t-i'r-t-2 ^-h+ìlr+M 



alle quali sono da aggiungere le (Bj) cioè, nel nostro caso, le 



0?) J**_ = -^jl = , 



se si esige che le congruenze tp h siano principali. 



Nelle stesse ipotesi le (3) ci dànno per le curvature principali rieman- 

 niane m hh e per gli invarianti principali 



le espressioni 



( a>hh = «h Qh — Qh+i Qh+t 

 f w h = 1 q, i+1 g k ^ s . 



E poiché dalle (2) seguono le 



2(>a == «/ì+i + «t>+2 — a» 



alle (4) si potranno sostituire le 



(4:) 



2 w n — a h — (cih+t — tth+i)* 

 oì hh = - (2 ( c<j) 2 — a* — tx h+ì a h < 



Osserviamo che, come segue dalle equazioni («), un cambiamento di 

 segno comune a tutte le a h (o a tutte le Q h ) importa soltanto cambiamento 

 nel senso positivo delle linee delle congruenze principali. 



Rendiconti. 1918, Voi. XXVII, 1° Sem. 4 



