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Quanto alle equazioni (/?), poiché, indicando con fi h dei coefficienti in- 

 determinati, esse equivalgono alle 



) — f*A h/r ? 



esse ci dicono che ogni congruenza ip h , per la quale la corrispondente 

 sia variabile, è normale. 



Ne segue che una al più delle g h può essere variabile poiché dalla 

 variabilità, per esempio, di q x si conclude che è a Y = 0, cioè 



(5) g t = — p 3 = c , 



con c costante, chè diversamente le X 2/r e le A 3/r risulterebbero proporzio- 

 nali e quindi A = ; e che, se una Q h è variabile, essa varia soltanto lungo 

 le linee della corrispondente congruenza tft k \ 

 Dalle (4) e (5) ricaviamo poi che 



(6) a* y = — 2c 2 , « 3 == — <o 2 = 2cq 1 



sono le espressioni degli invarianti principali della V 3 di questa classe, la 

 quale (per c = 0) comprende, come caso particolare, lo spazio euclideo. 



Se si osserva di più che, se si suppongono costanti tutte le Qt,, tali 

 per le (4) risultano pure tutte le to h si conclude che: 



Le varietà a tre dimensioni dotate di terne principali di congruenze 

 geodetiche si ripartiscono nelle seguenti due classi : 



I a che comprende lo spazio euclideo e le V 3 , per le quali un inva- 

 riante principale è costante e negativo; mentre gli altri due eguali e di 

 segno opposto variano soltanto lungo le linee della congruenza principale 

 corrispondente all'invariante costante; 



II a costituita da varietà, i cui invarianti principali sono tutti costanti. 



4. Ci occuperemo, per ora, soltanto delle varietà della l a classe, che 

 ci proponiamo di determinare intrinsecamente. 



Come risulta dalle (a), se una congruenza ip h è normale, la corrispon- 

 dente forma lineare %p h è il differenziale esatto di una funzione, che è natu- 

 rale assumere come variabile indipendente. Nel caso nostro, essendo a 1 = Q, 

 e quindi la congruenza %p x normale assumeremo 



<//, = dx x 



cioè 



A t i [ = 1 , ^1/2 = , ^1/3 = . 



Sarà poi Qì funzione della sola x, e (le equazioni (/S) e le (a) per h = 1 

 risultando identicamente soddisfatte) rimarranno da determinare ip 2 e j/'3 

 in modo che siano soddisfatte le equazioni (a) per h = 2 ed h = 3, nelle 

 quali sia posto 



a, = U , a 2 == Qi — C , a :ì = o l -)- C \ 



