Per esse le espressioni degli invarianti principali son dati dalle (6) 

 e quelle delle curvature principali riemanniane dalle 



0) n — C 2 , « 22 = — C 2 -{-2CQ l , 0) 3S = — c 2 — 2cq. 



Dunque di queste uua è costante, positiva ed eguale in valore assoluto e 

 di segno opposto alla media aritmetica delle altre due. 



Per c = si ha, come osservammo, lo spazio euclideo, nel quale la 

 congruenza xp x risulta normale, mentre le congruenze xp % e tp 3 hanno anor- 

 malità eguali, il cui valore è dato da Qì . 



Se poi si ricorda il significato cinematico delle Qhk si riconosce che 

 l'essere tra queste diversa da la sola q 1 importa che il triedro formato 

 dalle tangenti alle linee delle congruenze principali uscenti da uno stesso 

 punto subisca una semplice traslazione per uno spostamento infinitesimo del 

 suo vertice secondo l'ima o l'altra delle linee ip 2 e xp 3 ; mentre, se lo sposta- 

 mento ha luogo lungo la linea \\> l , esso ruota semplicemente intorno alla 

 tangente a questa linea. Segue da tutto ciò e dall'essere q } funzione soltanto 

 di Xi , che le rette xp x sono normali ad un sistema di piani paralleli 17, 

 mentre le rette xp 2 {& conseguentemente le tp 3 ) parallele fra di loro in uno 

 stesso piano TI ruotano di uno stesso angolo nel passare dall'uno all'altro di 

 questi piani. 



Ciò risulta anche dal fatto che per passare dalla espressione del ds 2 

 dello spazio euclideo, che si trae da quella riferita sopra ponendo c = 0, 

 alla espressione canonica dx 2 -f- dy* -f- d& 2 basta porre 



Per lo stesso cambiamento di coordinate la espressione del ds* delle varietà 

 di I a classe assume invece, per e qualunque, la forma 



ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 + c 2 (y 2 + z 2 ) dx 2 



-\-2cdx J (y sin 26 + g cos 26) dy + (y cos 26 — z sin 26) dz \ . 



x = Xi , y = cos 6x%-\- sin 6 x 3 , z = sin 6 x 3 — cos 6 x 3 , 



essendo 



