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« Per ciascuno di questi sistemi di equazioni, può accadere che esso abbia, 

 « ovvero non abbia, soluzioni. E può anche accadere che le sue tre equa- 

 « zioni sieno identicamente verificate quando lo sia la prima di esse. In 

 « quest'ultimo caso i punti di a soddisfano alla condizione L = cost, ovvero 

 i L'=cost. , e chiameremo cr superficie aplanetica di rifrazione rispetto 

 « alla coppia di punti P e Q. In ogni caso, se, per un punto di <r, sono 

 « soddisfatte le (3), ovvero le (3'), e si consideri PO come un raggio lumi- 

 « noso uscente da P, supposto che questo raggio sia situato, o, almeno, 

 « finisca con l'essere situato nel mezzo di indice n x , possiamo ottenere il 

 « raggio rifratto di PO con le seguenti regole : 



« 1°) se sono soddisfatte le (3) e i punti P e Q sono situati da 

 « bande opposte del piano tangente n in a a - , il raggio rifratto di PO 

 « è il raggio OQ ; 



« 2°) se sono soddisfatte le (3) e i punti P e Q sono situati dalla 

 « stessa banda del piano tangente n , il raggio rifratto di PO è il simme- 

 « trico di OQ rispetto al piano n ; 



« 3°) se sono soddisfatte le (3') -e i punti P e Q giacciono dalla 

 « stessa banda del piano n tangente a a in 0, il raggio rifratto di PO è 

 « il prolungamento del raggio QO ; 



« 4°) se, in fine, sono soddisfatte le (3') ed i punti P e Q giacciono 

 « da bande opposte del piano tangente n , il raggio rifratto di PO è il 

 « simmetrico di OQ rispetto alla normale alla superficie a, in » . 



Solo se siamo nel primo caso ed i raggi PO , OQ sieno contenuti per 

 intero nei rispettivi mezzi di indici n x ed n 2 , il principio precedente è 

 contenuto nel principio del minimo cammino ottico. Nelle stesse ipotesi, 

 se a è una superficie aplanetica, rispetto alla coppia di punti P,Q, il 

 punto Q è un' immagine reale di P. Se, invece, a è aplanetica, il raggio PO 

 è tutto contenuto nel mezzo di indice n x e siamo nel 3° caso, Q è imma- 

 gine virtuale di P. In ogni altra ipotesi, Q non è. nè immagine reale, nè 

 immagine virtuale di P . 



b) « Se, nell'enuuciato precedente, invece di supporre P fisso, si sup- 

 « pone soltanto che P debba appartenere ad un piano a, allora i valori 

 « estremi di L , o di L' , corrispondono a punti P di a e a punti di <r 

 « tali che PO sia normale ad a e che, inoltre, sieno soddisfatte, ancora, 

 « le equazioni (3), ovvero le (3'). Valgono, inalterate, le stesse regole di 

 « prima per trovare il raggio rifratto di PO e le altre conclusioni, ed il 

 * caso presente può considerarsi come quel caso particolare del precedente 

 « in cui il punto P si allontani indefinitamente in direzione normale ad a. 



c) t Potrebbe supporsi che si allontanino indefinitamente nella stessa 

 « direzione, o in direzioni differenti, tutti e due i punti P e Q. 



3. Superficie aplanetiche di rifrazione — Si è visto che, se ce 

 è una superfìcie aplanetica di rifrazione, rispetto ai punti P e Q, indicando 



