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con c una costante, i suoi punti devono soddisfare all'una, o all'altra, delle 

 due relazioni 



(4) Hi r x -f- n 2 r 2 = c , ovvero (4') n x r x — n 2 r 2 — c . 



E, per decidere se, dei due punti P e Q , uno possa considerarsi come im- 

 magine reale, o virtuale, dell'altro, bisogna, se occorre, dividere ff in parti 

 in modo che i piani tangenti ad essa nei punti di ciascuna di queste parti, 

 lascino i punti P e Q sempre dalla stessa banda, o sempre da bande op- 

 poste di e, ed applicare, poi, i criterii precedenti. 



Le superfìcie i cui punti soddisfano alla (4), ovvero alla (4'), sono, 

 evidentemente, superficie di rotazione intorno alla retta PQ. Possiamo, quindi, 

 limitare la nostra attenzione allo studio di una sezione meridiana. 



Scegliamo, perciò, la retta PQ come asse x , sieno e x ed e 2 , con e x ]> e t , 

 le ascisse di P e Q e limitiamoci a studiare la sezione della superfìcie pro- 

 dotta dal piano xy. Notiamo, però, prima, che, se n x ^> n 2 si possono de- 

 terminare un fattore k e due altri numeri q ed e 3 in modo che 



(5) kn x = | p — e 2 , kn 2 = \/q — e x , kc — (e x — e 2 ) \l q — e z 



con q > e x , e 2 , e 3 e le radici essendo considerate come positive, q ed e, 

 possono ritenersi determinati dalle equazioni 



— = - L == , — = (e, — e 2 ) — : • 



n t ] q — e, n i \ q — e 2 



Il parametro q dipende, dunque, soltanto dall'indice di rifrazione relativo 

 dei due mezzi separati da a. Similmente, se n x <^n 2 , si possono determi- 

 nare il fattore k e i due numeri q ed e 3 in modo che 



(5') kn 1 = )/e 2 — Q , kn 2 = )/e 1 — q , kc = (e x — e 2 ) |/e 3 — q 



con q <^ e x , e 2 , e 3 e si avrà adesso 



'h Ve, — q ±___ ÌB , Ve 3 — Q 



— , — \e l e 2 ) • 



n i ye x — q n i X e f — 9 



Ciò posto, corrispondentemente al caso n x ^>n 2 , l'equazione della curva, se- 

 zione meridiana della superficie aplanetica da studiare, si può scrivere 



«) Ve — e* \'(% — *i) 2 + y 2 — Vq — e \ Vi? — + y* = 



= («i — e 2 ) Vq — ?z 



