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e, corrispondentemente al caso n x <Cn 2 , si può scrivere 



= («i — e t ) \l e 3 — q , 



i segni -j-, o — , corrispondendo alle due diverse ipotesi (4) e (4'). 



Senza limitare in alcun modo il nostro studio, come si vedrà in appresso, 

 potremo sempre supporre che sia 



(6) e, > e 2 > e 3 . 



Anzi, poiché le equazioni a) e §) restano inalterate aumentando x,e x ,e 2 ,e s ,Q 

 di una stessa quantità possiamo sempre supporre di aver scelto l'origine 

 degli assi in modo che sia 



(7) <?i -\- e 2 -f- e 3 = donde e l > , e 3 < . 



Possiamo considerare, per dippiù, le e come radici di un'equazione della 

 forma 



(8) 9 >(s) = 4s 3 — g 2 s — g 3 = 

 con 



\ -y- = — (<?i H + 02<? 3 r + «s«i) = — e t e 9 = és — <? 3 e, = e| — e, e 2 , 



(8') 



Nel seguito interpreteremo anche e 3 e q come ascisse di due punti 

 dell'asse x ed indicheremo con E! , E 2 , E 3 i punti di ascisse e x , 8 , e 3 e 

 con r f il raggio vettore che dal punto E t - va ad un punto qualunque del 

 piano della curva. 



4. Forme principali dell'equazione dell'ovale di Cartesio. — 

 Dalle identità 



(? — e 2 ) r\ — (e — e x ) r\ = (<?, — e 2 ) |> 2 -f- «/* — q(2x -f- é? 3 ) — *i é? 2 ] = 

 = (|/? — «2 n + — *i ^2) (j/? — e 2 r, — — e, r 2 ) = 

 = — {f / e 2 — Q r x -f- |/e x — qr 2 ) (j/e 2 — Q r ì — ]/e l —Q r 2 ) 



si ricava subito che, se vale la a), sia che in essa si consideri il segno -{-» 

 il segno — , è 



(0) 2\/q — e 3 ^Q — e 2 r, = (x — e)* + y* — q z -\- 2 + el e 2 e 3 , 



mentre, se vale la /?), qualunque sia il segno che in essa si consideri, è 

 (9') 2 Ve 3 -Q \/e 2 — q r. = - \\{x — qY + y* - ? -f 2 e, e + e\ + * 3 ] . 



= £1 e, e s 



