— 33 — 



Elevando a quadrato, tanto la (9) che la (9') conducono alla stessa equa- 

 zione razionale che si può porre sotto la forma 



A) j (x - p) s + f - j cp'(o) r - 5p( ? ) (2* -f q) = . 



ovvero, ordinata secondo le potenze di q , 



B) + 



Seguendo la nomenclatura adoperata dai geometri, chiameremo ovale di Car- 

 tesio, tutta intera la curva rappresentata dall'equazione A), o B). 



Queste equazioni contengono le ascisse e x , e 2 , e 3 in modo simmetrico 

 e restano, quindi, inalterate, eseguendo, su questi numeri, delle permuta- 

 zioni arbitrarie. Queste permutazioni sono, quindi, lecite anche sulle (9) e (9'). 



Scegliendo come polo uno qualunque dei punti E*, come asse polare 

 l'asse x e chiamando »< la corrispondente anomalia, si trova, subito, l'equa- 

 zione polare dell'ovale di Cartesio sotto la forma 



C ) r? + 2 [>,- — q) cos coì — I o — e i+1 \ q — r 4 + R? = 

 in cui si è posto 



R? = («i — (*,- — 



L'equazione C) si può dedurre dalla (9) e vale per il caso di q~^>e\. 

 Per il caso Q<^e 3 l'equazione corrispondente alla C) si può ricavare dalla 

 (9') e si ottiene dalla C) stessa sostituendo 



— \ e i+ì —Q] e i+ì — q a \/q — e i+ì \ q— e i+2 . 



Tenendo presente che il primo membro della A) è di secondo grado 

 in q, dividendo questo primo membro per (p(q) e scomponendo quindi la 

 funzione di q così risultante in frazioni elementari, si trova subito che la 

 equazione dell'ovale di Cartesio si può anche scrivere 



D \ S * _i_ . §1 i §S = o 



h Rf(e - «i) ^ Rf(<? - e t ) ^ Kl(Q-e 3 ) 



nella quale si è posto 



(10) Si = (.r~ *«)*-}- y 8 — Rf. 



5. Proprietà principali dell'ovale di Cartesio ■ — L'ovale di 

 Cartesio è una curva algebrica di quarto ordine avente una cuspide in cia- 



Kendiconti. 1918, Voi. XXVII, 1° Sem. 5 



