scuno dei punti ciclici del suo piano. Le tangenti cuspidali, in questi punti, 

 si segano nel foco straordinario (x = q , y = 0) della curva. 



Da ciascuno dei punti ciclici si possono condurre alla curva, ancora, 

 tre tangenti in punti al finito. Dei nove punti d'intersezione (fochi ordi- 

 narii della curva), quelli reali sono i tre punti Ex , E 2 , E 3 dell'asse x. 



La serie delle ovali di Cartesio confocali, delle curve, cioè, aventi gli 

 stessi fochi reali e, quindi, anche gli stessi fochi immaginarii, è rappresen- 

 tata da ciascuna delle equazioni A), B), D). Facendo variare il foco stra- 

 ordinario si hanno le diverse curve della serie. 



Le curve reali della serie precedente si dividono in due sistemi: una 

 si ottiene facendo variare q fra e x e -j- oc, l'altro facendo variare g fra — co 

 ed e 3 . Scambiando il senso positivo dell'asse x i due sistemi di curve si 

 scambiano fra loro. A valori di q compresi fra e 3 ed e x corrispondono curve 

 immaginarie. 



Per un punto del piano passa una curva appartenente a ciascuno dei 

 sistemi precedenti e queste due curve s'incontrano ad angolo retto. Due 

 curve dello stesso sistema non hanno, quindi, punti reali in comune. 



Per q = a (« = 1,2,3) la curva si riduce al cerchio Ci di equazione 



{x - eìY + f — R? = 



contato due volte. I cerchi Ci e C 3 sono reali ; appartengono come curve 

 limiti a ciascuno dei due sistemi di curve reali che compongono la serie 

 confocale e s' incontrano, quindi, ad angolo retto. C 2 è immaginario. 



Un'inversione rispetto a ciascuno dei cerchi Ci trasforma ciascuna delle 

 curve della serie e, quindi, la serie in se stessa. 



Ogni curva appartenente al sistema q > e, è composta di due ovali 

 distinte inverse una dell'altra rispetto al cerchio Ci e, quindi, una interna, 

 l'altra esterna allo stesso cerchio. Ciascuna di queste ovali incontra ortogo- 

 nalmente il cerchio C 3 ; ha l'asse x per asse di simmetria ed è situata nella 



regione del piano in cui x^> — ~ . Proprietà analoghe valgono per le curve 



a 



del sistema q <^e 3 e, per enunciarle, basta scambiare, negli enunciati pie- 

 cedenti E t e Ci con E 3 e C 3 . 



La serie di curve confocali formata dalle ovali di Cartesio è il doppio 

 sistema di linee ortogonali che nella rappresentazione conforme determinata 

 dalla funzione di variabile complessa 



P essendo la funzione ellittica di Weierstrass con invariante reale e posi- 

 tivo, corrisponde al doppio sistema ortogonale formato dalle rette se = cost, 

 y = cost. 



