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6. Intersezioni della curva con l'asse x. — Ci riferiremo, d'ora 

 in poi, soltanto ad una curva del sistema q ^> e x . L'equazione da cui di- 

 pende la determinazione delle intersezioni di questa curva con l'asse x è 

 un'equazione di quarto grado riducibile quando si suppongano note le quan- 

 tità \' q — e x . Queste intersezioni si possono ottenere, facilmente ed in con- 

 formità alle diverse proprietà metriche di definizione della curva stessa, 

 cercando i punti dell'asse x che soddisfino alle condizioni 



(11) \lq — e 2 {x — *i) rt \/q — e y (x — e 2 ) = zh (<?, — e 2 ) \ o — e 3 . 



Chiamando valori di x cosi determinati e supponen- 



doli ordinati per ordine di grandezza decrescente, avremo 



a;, == q -}- \ \q— e 3 ) {q - e 2 ) + ViQ—ei) (g—e s ) + f(q — e t ) (q—e x ), 



Xi = q -f- 1 7 !?— * 3 ) (e— *s) — tfe— «0 (e — e 3 )— — « 2 ) (e — «iK 

 ^3 = ? — i (e — * s ) (q — **) -f- fte — «1) (e — a») — lAe — «2) (e — «1) » 

 = C — Ite — e 3 ) (9— e t ) — — tfi) (9— e 3 ) +^(9— «ti (e — *0 . 

 Da queste formole ricaviamo 



001 — e x = — e, -f- J p — e 2 ) {]/q — e, -f- f ? — e 3 ) , 

 #2 — «1 = {] Q — e, — \'q — <? 2 ) {\'q — e, — \'q — e 3 ) , 



e quindi 



(13) (#1 — e t ) (x s — ei) — BJ . 

 In modo analogo si mostrerebbe che 



<? 2 ) = R| , (# 2 — <? 2 ) (a' 4 — <? 2 ) = R| ; 

 e 3 ) = R 3 2 , ( Xì — e 3 ) (x 3 — e 3 ) = R 3 2 



dalle quali^si deduce che le due coppie di punti {xì , x%) , (x 3 ,Xi) sono 

 coppie di punti inversi rispetto a Ci , che i punti di ciascuna delle coppie 

 (x, , x 3 ) , (x 2 • x 4 ) sono inversi rispetto a C 2 e che quelli di ciascuna delle 

 coppie (xi , Xi) , (Xì , x 3 ) sono inversi rispetto a C 3 . 



7. Le ovali di Cartesio come curve aplanetiche di rifra- 

 zione. — L'equazione dell'ovale di Cartesio, sotto una qualunque delle 

 forme A), B), D), contiene simmetricamente e x .e t ,e z . Per conseguenza la 

 totalità dei punti reali che costituiscono la detta curva contiene i punti 

 reali dei diversi luoghi di punti rappresentati dalla diverse equazioni 



(14) \'q — é? ìV2 r i+l -t \ q — e i+l r i+t = rt (e i+ì — e i+z ) f'q — e t , 



2 = 1,2,3. 



| {x 3 — e x ) (x 4 — 

 (13') ■ (xt — e 2 ) («a — 



I (Xl — <? 3 ) (#4 — 



