Nella (2) si vede far comparsa il prodotto dell' hamiltoniano pel gra- 

 diente di una funzione scalare U. e, nell'analoga di cui si è or ora parlato, 

 il prodotto invertito, la cui forma esplicita, quando si tengano presenti 

 quelle di V n U e G A U è, pel Vn U • Gr n U : 



i=m ~\ TT f=m a IT i=m / -nTT \ i 



(3) (-l)PP'Vli|E r V^ Ei= V p . 



e (-l)PP' N (~) pel G n U.VnU. 



L'espressione a 2° membro della (3), cioè il VnU-GnU coincide con 



m 



ciò che si direbbe, col Beltraoii, nei riguardi della forma quadratica ^<»<, 



i 



parametro differenziale 'primo {furo, come qui si preferisce dire, in accordo 

 con la derin. al n. 2) e corrisponde alla norma (quadrato del modulo di Vn U 

 e Gn U nei riguardi della stessa forma) • la indicheremo con P n U. Potremo 

 allora, tenuto conto della (5) di (H di G, 1) che vale, evidentemente, pure 

 per la F(U), e della (2) precedente, scrivere la espressione di L n P(U) 

 nella forma 



(4 ) LnF(U) = i^ PnU + ^ LnU: 



nella quale riesce facile dare dell'espressione stessa un enunciato in lin- 

 guaggio ordinario, e dedurne che, ove sia $p(U) una funzione della U che 

 soddisfa alla 



(5) L a U-sp(U)P a U — 0, 

 una funzione armonica P(U) esisterà data dalla 



(6) F(D) = C \e J p ^ u -rfU (con C cost. arb.). 

 Così avviene, ad es., nel caso in cui sia U la pot. di esponente \ della 



i=m 



(7) y («,• — aiY (con le ai costanti) ; 



poiché, avendosi allora, al seguito di breve calcolo 



L n U= V 

 "ì 



1 



U U 3 



m — 1 

 U 



PoU=l 



m — 1 



si avrà y(U) = — — — ; e quindi 



(8) j <p{[]) dJJ = (m - 1) \^- = (m— 1) log «TI, 



