ove a è una cost. arb. Dalla (8) deducesi, per la (6) 



F(U) = | dTJ . e-« n - in °s* v = j UU(a\]) 1 - m ; 

 e, conseguentemente, secondochè sia m~^>2. o m = 2, sarà: 



e si presenta così un risultato noto, ed in forma più completa dell'ordinaria 

 (Cfr. Green, Math. Papers, pag. 187 e seg. ; Beltrami, Op. Mai., tomo II, 

 pag. 103, in fine; Poincaré, Ada Mathematica, tomo 22, pag. 91, ecc., ecc.). 



È istruttivo rilevare che alla l a delle (9), epperò quando m]>2, si 

 è condotti dalla stessa (4) prendendo quale funzione U la (7). In fatti, in 

 linea generale, supponendo che in (4) si abbia F(U)-=U*\ si avrà 



(10) L n U* = p(p - 1) U*- J P n U + pi]?-* L n U , 



r 



e per p = - 

 s 



(10') L n ffi = j j j/W 1 ** P n D + f/U^ . Là U ! , 



d'onde, ove U sia la (7), trovandosi, dopo brevi calcoli, essere P ri U = 4U, 

 L n U = 2m , si ricaverà 



(11) L n /U r = \ f/U r - s (4r — 4s -f 2sm) . 



Da questa segue, allora, che j/ / U'" è una funzione armonica, nelle variabili 

 , w 2 , ... , u) m , se r , s soddisfanno alla relazione 



2r — 2s -j- sm = , 



cioè se - = - — • Escludendo dunque il caso di m = 2 che darebbe 



s 2 



r = [inammissibile data la questione che si tratta], si ritorna ad eccezione 

 della cost. arb. a, alla 1* delle (9). 



2. Se la F sia una funzione F(U! , U 2 , ... , U p ) di p altre funzioni 

 Ui , U 2 , ... , Up , osservando che (come per le derivate ordinarie delle fun- 

 zioni di funzioni così per le derivate estensive) si hanno le 



