si avrà, dopo qualche trasformazione, la 



L a F = (-l )??' Ì G n ^ ■ Vn Ui + f ~ G n V n U ; 



d'onde, indicando generalmente con P n (V , W) il prodotto 



(13) Vn V • G n W = V n W • G n V = (— 1 )P." G n V • Vn W = 



= (_1)PP' G n W V n V 



che si dirà parametro differenziale misto delle funzioni V , W rispetto 



m 



alle Sì, o rispetto alla J »? , a fianco delle (12) e pel laplassiano di 

 P(Ui , U 2 , ... , U p ) , troviamo la seguente 



(14) L^-Np^^.U.j + V^.^o,, 



il cui enunciato, in linguaggio ordinario, si presenta anche ovvio. 



In particolare, se F == Ui U 2 ... Up , abbiamo, rispettivamente, per 

 ^7nF « GnF , L n F le espressioni seguenti 



\ Vn(U, U, ... U p ) = 2 U, ... U,- ... U p VflUi , 



(15) ^ 

 Gn(U, U 2 ... U p ) = 2 U, ... U ( ... U p G n Ui 



(16) L a U, U 2 ... Up = 'f U, ... Ui ... Up L n U,- + 



i=i 



+ 2 y U 1 ...Ui...U ft Up P n (U,,U»), 



i,ft 



dove il tratto messo superiormente ad una funzione U rappresenta l'assenza 

 di essa, nel prodotto del cui simbolismo fa parte, e dove i valori distinti 

 di i , k si intendono presi da 1 a p . 



Alle (16) può essere data la interessante forma seguente 



L n (U,U«-.Up ) _ <f L£Ui , „ % p PnlUi-U.) 

 {LO} U,U 2 ... Up à ^ """^yà UiU* 



3. Non è senza interesse, dal nostro punto di vista, offrire qui una 

 qualche applicazione delle forinole precedenti. Ad es., se nella (16) facciamo 

 U, = U, = • • • = U p = U ed osserviamo che allora il 1° 2 della (16) si 

 riduce alla somma di p volte il termine U p ~'L n U e il 2° si riduce alla 



somma di p( " P ~ ^ volte il termine U*-* P n (U,U), e che P n (U,U) = PnU, 



si trova per p intiero la (10). Se inoltre, nella stessa (16), si fa soltanto 



