U 2 = U 3 = ■ • = Up , e poi (a titolo di comodità) nel risultato si cambia 

 p in p -j- 1 , si ottiene (per p intiero) un'altra formola che è vera per p 

 qualunque [come si deduce dalla (14) nella supposizione in cui sia F^UxUjjT] 

 e che porta ad una conclusione che sta a base della teoria delle funzioni 



coniugate iperisf eriche quando per U 2 si scelga la ^^_«i| 2 - In fatti, ove 



sia Ui una funzione omogenea al grado t nel senso euleriano, si avrà 



m -\TT 



Pn(rJ: , uf) = pur 1 7 ~ -~ = ?ur 2 . *u, , 



e l'equazione che esprime essere Ui U£ armonica, risulta perciò essere 



U 1 L a U^+2 /) rU 1 Ur 2 = 0; 



ffi — \ 



ovvero, per la (10) applicata ad U£, e per essere L n U 2 = — = — , P a U 2 = l: 



U 2 



(».-}- p + 2* — 2) U,Ur 2 =0. 

 Questa non può essere soddisfatta altrimenti che ponendo 



m + p + 2t — 2 = , 



da cui deducesi 



p = 2 — m — 2r ; 



ed esprime appunto il risultato secondo il quale, per ogni funzione omo- 

 genea U al grado t che soddisfa alla equazione di Laplace in m variabili, 

 esiste una sola potenza della radice quadrata r della somma dei quadrati 

 di queste variabili che, moltiplicata per U, dia una funzione V pur essa 

 soddisfacente all'equazione di Laplace, che tale potenza è la (2 — m — 2r) rna , 

 sicché si ha 



e che (come deducesi, a parte, ovviamente) la relazione fra U e V è re- 

 ciproca. 



