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Fatte le posizioni 



dalla (3) della Nota I a si traggono facilmente le 



w /n-u+2 = 2Q h+l ó h -{- 2o h a h — 2g h+ìh a h+% 

 w h + 2h+1 — — 2o A _ 1 _ 2 4 -}- 2o ft o- 7i — 2o ft+1 h a h+ì 

 w h = 2. o h+1 g h+2 — 22i §\ — 2(t\ -f- 2ó h+2 a h+2 — 26 h+l a h+l . 



Per le terne principali di 2 a specie abbiamo dunque in particolare 



«A+i h+ì = 2l*/ H _ 1 Ó h 

 <»h+l h-t-l = a 20ft +2 Ó h 



Oh = 2o h+x o h + 2 — 22 t ò] . 



Ne segue che le equazioni (B) della Nota I assumono la forma notevole 



a h ó h = , 



e che una terna principale di 2 a specie è anche terna principale di 1* specie 

 nei seguenti casi soltanto : 



1°. Se è = <J 2 = J 3 = 0, cioè se si tratta di V 3 della II* classe. 



2°. Se è o, = g 2 = g 3 = , nel qual caso risulta w h = — 22 { ò\. 



3°. Se si annullano due rotazioni g h e le corrispondenti ó h , per 

 esempio, se è q 2 = Qz — ó« = à 3 = , nel qual caso risulta w h — — 2d\ . 



6. Come segue dalle (4) (Nota I) le V 3 della II a classe hanno costanti 

 gli invarianti e quindi le curvature riemanniane principali. Non è però vera 

 la proposizione inversa; e ci proponiamo ora per prima cosa di stabilire a 

 quali condizioni gli invarianti principali di una V 3 supposti costanti devano 

 ancora soddisfare perchè le V 3 stesse, ammettendo una terna principale di 

 congruenze geodetiche, appartengano alla II a classe. Di più stabiliremo tali 

 criteri, che, dati i valori numerici degli invarianti principali di una V 3 

 della II a classe, ci consentano di riconoscere a quale appartenga delle tre 

 sottoclassi, nelle quali la abbiamo suddivisa, con criteri desunti dai valori 

 numerici delle tre anormalità spettanti alle singole congruenze geodetiche 

 principali. 



Risulta ancora dalle equazioni (4), che le V 3 della II* classe hanno 

 due invarianti principali nulli, o non ne hanno alcuno. 

 Cominciamo dal considerare il primo caso e sia: 



w, = o) , = ; « 3 ={= . 

 Dalle (4) seguono in tali ipotesi le 



Q a = 0,2 Qi Q 2 = (tì 3 . 



