In questo caso, dati gli invarianti principali, rimane dunque indeterminata 

 la anormalità a 3 = ^ -f- q 2 , la quale potrà supporsi positiva o nulla purché 

 tale che le rotazioni e q 2 risultino reali. E poiché essa, come si potrebbe 

 dimostrare e come lascia supporre il suo significato, è invariante di fronte 

 ad ogni sostituzione ortogonale, che si eseguisca sulle congruenze ìpi e ip t , 

 a valori diversi di a 3 corrispondono delle V s intrinsecamente distinte. 



Per conseguenza il caso, che stiamo studiando, si suddivide in due di- 

 stinti secondo che è 



co t —- w 2 = , co-i ^> , <* 3 = c 2 , 

 essendo e 2 > 2co 3 ; ovvero 



Wi = co-2 = . io 3 <C , cc 3 = e 2 , 



essendo c 2 ^0. E poiché nel primo caso Qì e Q t risultano entrambi posi- 

 tive e di segni opposti nel secondo, si conclude che si tratta rispettivamente 

 di V 3 della 2 a e della 3 a sottoclasse. 



7. Se tutti gli invarianti principali e quindi tutte le rotazioni sono 

 diverse da 0, dalle (4) seguono le 



(4') 



i) 



2 Wft+i fty 



per le quali in funzione degli invarianti principali risultano determinati i 

 valori assoluti delle Q h . Esse ci dicono che il caso, che ora esaminiamo, 

 si può suddividere in due e cioè: 



a) se tutti gli invarianti principali sono positivi ; 



b) se un invariante principale è positivo e due sono negativi. 



Le (4) ci dicono poi che nel caso a) tutte le (ft, e quindi le a h , si 

 possono assumere positive, che cioè si tratta di varietà appartenenti alla 

 sottoclasse 2 a . 



Nel caso b) invece due rotazioni devono essere assunte positive ed una 

 negativa o viceversa. Secondo le uguaglianze o disuguaglianze possibili tra 

 i valori assoluti degli invarianti principali esso si scinde negli otto casi 

 seguenti, che conviene separatamente esaminare. 



è,) I tre invarianti principali hanno valori assoluti eguali. 

 Suppongasi co 3 = — eoj = — co, . Per le (4) sarà a x = a t = . Si 

 tratta dunque di varietà della sottoclasse 1*. 



b 2 ) I due invarianti negativi sono eguali ed in valore assoluto mag- 

 giori del positivo. 



Suppongasi — eo 3 — — co, ^> co, ^> . Si possono assumere q ì > , 

 ?2 = Qi <C e risultano così a, < , a 2 >> , a 3 > 0. Si tratta dunque 

 di varietà della sottoclasse 3*. 



