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« La 3 a dalle V 3 , che ammettono un invariante principale negativo e 

 « due nulli, e da quelle, che ammettono un invariante principale positivo e 

 « due negativi, il primo essendo in valore assoluto minore di uno almeno 

 « di questi ». 



Alla 2 a sottoclasse appartengono in particolare le varietà a curvatura 

 costante positiva. 



8. Poiché per le varietà della classe IP le rotazioni g h sono costanti 

 le equazioni (/?) del § 2 sono identicamente soddisfatte e quindi le equa- 

 zioni (a) sono completamente integrabili. Di più, per quanto fu dimostrato 

 nella Nota precedente, fissati i valori delle qh o, per essi, quelli degli inva- 

 rianti principali, la corrispondente V 3 è intrinsecamente determinata e per 

 ottenerne la determinazione analitica intrinseca basta determinare per le (a) 

 un sistema integrale particolare qualunque purché tale che il determinante 



X = (Aj/ ! X 2 2 A 3 ' 3 ) 



risulti diverso da 0. 



Cominciamo dal fare ciò per le varietà della l a sottoclasse: 



(a, = a 2 = , « 3 ^> 0). 



Per queste assumeremo 



i/'i = dx-i , \p 2 = dx 2 



cioè 



/,,/[=: X^i 2 = 1 ; Xi/ 2 = X\, 3 = X%j | = X 2 , 3 = . 



Risulterà 



X = À 3 / 3 



e, assunto ancora 



A 3/ i = 0, 



rimarranno da determinare l 3 / 2 e / 3/3 in modo che, essendo A 3/3 4=0, siano 

 soddisfatte le equazioni 



7)ii 3 /3 ^ 3 '3 n ^3/3 ,-, ~òX; } f 2 



— = , = , = — « 3 . 



ÌX 3 ÌX 2 ~òXi ÌXi 



Ciò poi si ottiene assumendo 



"■3/2= <* 3 Xi , ^ 3 3 =1 



e quindi 



*p 3 = — »3^i dx z + ■ 



Dunque 



ds 2 — dx\ -f- ( 1 -f- al xf) dx\ -f- dx\ — 2 a 3 x x dx 2 dx % , 



essendo a 3 costante positiva, è una espressione canonica del ds 2 delle va- 

 rietà della l a sottoclasse. 



