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Le equazioni immediatamente integrabili delle loro congruenze princi- 

 pali sono poi : 



dx t — , dx 3 = ; dx x = , dx z = a z x x dx 2 ; dx x = , dx% = . 

 In fine, come risulta dalle (4), 



1 2 



003 = — w l = — w 2 = - a\ 

 sono le espressioni dei loro invarianti principali e quindi 



2 ^2 

 "h 1 =V»22 = T ; «3 - «33 = T «3 



quelle delle loro curvature principali riemanniane. 



Essendo in questo caso co j j — co 2 2 4= w 33 Qi = Qì riconosciamo che le 

 varietà di questa classe ammettono un gruppo a quattro parametri di mo- 

 vimenti rigidi. 



9. Passiamo a considerare la sottoclasse 2 a (g^ >. , « t , « 3 ]> 0) 

 cominciando dal supporre or, = 0. Potremo porre 



ip ì - dx x 



cioè 



Sarà così 



A = Xz/i ^3/3 ^-2/3 ^3/2 



e, posto ancora 



2 2 / i = A 3 / i = . 



rimarranno da determinare A 2/2 , A 2/3 , X zt 2 . e A 3/3 in suolo che risulti A=^0 

 e siano soddisfatte le equazioni 



~òX t /2 



~ÒX 3 



l)Xi 



= , 



"^3/3 _ 

 ~òX i 



a ì ^-3/3 ' 



/ 2 



7)^3 l 2 

 ~ÒX Z 



^3 '3 



~òXì 



= , 



"ì)^3/3 



a 3 A 2 / 3 , 



~Ì)A 3 2 



!>X\ 



'•■3/2 



= « 3 A 2 / 2 



Ciò si ottiene ponendo 



H = j/« 2 a 3 x, (') 



|/a 3 A2/o= COStì , t /fl; 3^2/3 = SÌ 11 



f/a 2 ^3/2 = — sin , -|/a. 2 A 3/3 = — costi ■ 



( l ) Qui ed in seguito per i radicali quadratici si intenderanno scelti i loro valori 

 positivi. 



