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e quindi abbiamo per le forme fondamentali e per il ds z delle varietà della 

 2 a sottoclasse le espressioni 



. . . / 2cr, , 

 ip l = dx^ 4- \ cos xp ax 2 



ja 3 t/i ? = cos 6 dxi -f- cos(0 -f- xp) dx z 

 ]/ a 2 xp 3 — sin & dx 2 -j- sin (0 -}- xp) dx 3 



, » , / sin 2 é» . cos 2 tf . 2«, \ , . 



ds 2 = dxì 4- H cos «// dcc\ 



\ a 2 a 3 a 2 a 3 / 



I «»■(« + ») «.■(» + ») \ rf 2 j /H^, & , fa> 



\ «3 «2 / [ 7 «2 «3 



, / cos cos(fl -f- j£0 i sin6sin(g-{-^>)\ 



-p ^ ( ) «cc 2 dx 3 \ 



\ a 3 a 2 / 



6 e xp risultando definite dalle (8) e (9). 



Questi risultati comprendono, come è naturale, quelli superiormente 



Tt 



ottenuti supponendo a, = ; nel qual caso dalla (9) risulta xp = — - . 



dì 



In particolare essi . sono applicabili agli spazii a curvatura costante po- 

 sitiva K , pei quali è da porre a x = <x z = « 3 = 2 J/ K . Per essi risulta : 



essendo 



/ cos* xp 

 xpi =dx x -\-y T dxì 



\/ 4K • xp 2 = cos 6 dxì -f- cos (0 -f- ^3 

 j/4K • ^3 = sin 6 dx<i -j- sin(0 -f- 1//) d,r 3 , 



6 = 2 )/K x t , = r~7= p (x 3 -f £c 3 , 4 K , 0) . 

 ' cos xp 2 y £ T 



Abbiamo così una nuova espressione per il loro ds 2 . Di più abbiamo deter- 

 minata per essi una speciale terna ortogonale, che si distingue da tutte le 

 altre per la proprietà, che le congruenze di linee, che la costituiscono, sono 

 tutte geodetiche. 



10. Rimangono da considerare le varietà della 3 a sottoclasse (a l >.0, 

 « 2 > , « 3 < 0) . 



Si supponga dapprima <*! = e si assuma, come nel caso analogo con- 

 siderato nel § precedente, 



*l / 1 == 1 i ^1 / 2 = ^1 ; 3 = ^2/ 1 = ^3/ 1 = . 



Rimarranno ancora da determinare A s / 2 , X ì/3 , e A 3/3 in modo che risulti 

 Rendiconti. 1918, Voi. XX VII, 1° Sem. 12 



