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A 4=0 o siano soddisfatte le equazioni (a ). Tutto ciò si ottiene ponendo 



6 = | — a 2 a 3 • X\ 

 \ — a 3 X. 2 ,2 — cos hd . J — • « 3 / 2 ,3 — sin hd 

 y or 2 /. 3 /2 = sin hd , f/a 2 • A 3/3 = cos hd . 

 Abbiamo così 



t/'i = dx] 



1 — a 3 ■ Wì — cos hO dx 9 ~\- sin hd dx 3 ; ] a, i/' 3 = sin /ztt cte* -(- cos /ìft flta: 



, , , , , / sin h 2 d , cos/z' 2 0\ , , , / sin h s 6 . cos h 2 tt\ , 

 rfs 2 = dx\ -f -f dx\ + + dx- z 



+ ( — + — — ) sin A2tì di 



\ a 2 — a 3 / 



2 cloC'ì 



Anche in questo caso le equazioni delle congruenze principali sono 

 immediatamente integrabili e per gli -invarianti e per le curvature rieman- 

 niane principali valgono le espressioni stabilite per la 2 a sottoclasse nel 

 caso a, = 0. 



I risultati, a cui siamo giunti per la 3 a sottoclasse, si semplificano 

 notevolmente se è a 2 -\- a 3 = . In particolare per gli invarianti e per le 

 curvature riemanniane principali valgono allora le espressioni 



co, = — 2a\ , co., = (b 3 = 

 ci), ! = — 2<» 2 2 = — 2ft>33 == 2a 2 , 



e da queste ultime segue che si tratta di varietà dotate di un gruppo di 

 movimenti rigidi a quattro parametri. 



Sia «! > 0. Fatte ancora le posizioni (7), le cose procedono come nel 

 caso analogo considerato nel paragrafo precedente colla sola differenza che 

 alle posizioni (7 f ) e (7") sono da sostituire le 



y — a 3 A 2 , 2 = cos hd , y — a 3 2 2 /3 = sin h(o ~\- ip) 

 f a 2 A 3 / s — sin hd , ] a 2 / 3 / 3 = cos h(d -f- ip) 



; ] iVi 



A 1/2 



f/ — a 2 a 3 0^2 



essendo 



(8') 6 = ]/ — a 2 "3-^i 



e (// funzione di x% e di as 3 soltanto, la quale soddisfi alla equazione 



