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Sia x l'istante in cui ha luogo il primo urto a partire dall'origine 

 dei tempi t = 0, e supponiamo p. es. che esso abbia luogo tra Ci e C 2 . 

 Allora, per noti teoremi, mentre t tende a r , le distanze r x ed r 2 tendono a 

 limiti fissi Qi e £ 2 , mentre r 3 tende a zero divenendo nulla come 3 [/t 2 rispetto 

 a t. Ne segue che la funzione %{£) diverrà infinita per t = x. 



3. In breve, mentre t cresce per valori reali da a r, la S si man- 

 tiene reale 'e positiva e cresce da a oo. Verrà quindi a stabilirsi una cor- 

 rispondenza biunivoca tra i valori reali del tempo compresi nell'intervallo 

 < t x e i valori reali e positivi della S ; la corrispondenza sarà anche 

 continua tranne all'estremo superiore per cui a l = x corrisponde S = oo 

 e viceversa. 



4. Prendiamo ora una nuova funzione T(^) definita dall'equazione 



™-=rls-' -i ! s- 



da cui inversamente 



(3) SfO-T-^--. 



Dalla (2) risulta che per valori di t compresi nell' intervallo ^ t < x , 

 la T(t) è una funzione reale positiva e crescente dell'argomento t, la quale 

 si annulla per t = e diviene eguale all'unità per t = x . 



5. Prendiamo ora un valore reale qualsiasi T„ di T compreso fra lo 

 zero e l'unità, l'estremo superiore escluso. Ad esso per la (3) verrà a cor- 

 rispondere un valore S di S e quindi per la (1) un valore t di t reale, 

 positivo e compreso fra e x, l'estremo superiore escluso. Ne segue che 

 essendo t t un punto di regolarità le coordinate dei tre corpi e quindi le 

 distanze r saranno funzioni olomorfe in / — 1 ; anche T risulterà perciò 

 olomorfa in t — t . 



6. Ciò posto dalla (2) e dalla (1) derivaiado e combinando si ottiene 

 immediatamente 



(4) ^ r = (r 1 r 2 r 3 ) 4 (l + S) 8 . 



Ora, poiché nell' istante t non ha luogo alcun urto, tutte le r sono 



diverse da zero e quindi la derivata risulta in esso positiva e non nulla. 



Sono perciò verificate le condizioni necessarie e sufficienti per l'inversione 

 e noi potremo affermare che nell'intorno di T il tempo t e le coordinate 

 dei tre corpi sono sviluppabili in serie di potenze intere e positive di 

 T — T„, convergenti per |T — T | sufficientemente piccolo. 



