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Secondo note teorie ('), esso converge uniformemente in tutti i punti interni 

 alla stella. 



9. Ciò posto essendo la serie (5) funzione continua, positiva e crescente 

 di T nell'intervallo aperto (cioè escludente l'estremo superiore) < T<1, 



fc=0O l=ft 



ne segue che facendo tendere T all'unità la serie y ^_ a hi T* : 



a) o tenderà ad un limite positivo ben determinato e finito A; 



b) oppure tenderà all' infinito. 



Esaminiamo separatamente questi due casi; ma prima, ad evitare .ogni 

 equivoco, facciamo notare al lettore che noi affermiamo soltanto che la 

 nostra serie tende ad un limite positivo o all'infinito, e non già che essa 

 assume questi valori per T = l. Così per es. la serie dove s * na: 



u n = x{\ — ce 9 )— 1 



è convergente ed uguale a -j- — nell'intervallo aperto — 1<C^<C0 e 



OC 



tende quindi all' infinito negativo quando x tende, crescendo, a zero: eppure 

 per ce = il suo valore è zero. 



10. Caso 1. — Supponiamo che si abbia: 



h=cc i=h 



(6) lim y y a hi T = A . 



T=l ; i= o i=0 



Dico che in questo caso il primo urto tra i tre corpi avrà luogo preci- 

 samente nell'istante t = A . 



Per vederlo, facciamo infatti crescere t verso t. Ambedue i membri 

 della (5) tendono allora verso limiti determinati e finiti : il primo membro, 

 evidentemente, verso t; il secondo membro, secondo l'ipotesi, verso A. Ora 

 se due quantità si mantengono costantemente uguali in tutti i punti interni 

 di un dato intervallo ed ammettono limiti all'estremo superiore, questi limiti 

 sono certamente uguali. Dunque ecc. 



11. Caso IL — Supponiamo ora che si abbia: 



h=co ì=x> 



(7) * lim v Y flw T' = oo. 



T=l h=0 <=0 



Dico che in questo caso non avrà mai luogo alcun urto tra i tre corpi. 



Infatti supponiamo p. es. che il primo urto abbia luogo nell' istante % 

 e facciamo crescere t tendendo verso r. Risulterebbe allora che il primo 

 membro della (5) avrebbe per limite t , mentre il secondo membro l' infi- 

 nito: ciò che è assurdo, giacché i due membri restando uguali in tutti i 



(') Cfr. Vivanti, op. cit., pag. 363. 



