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Matematica. — Differenziali esatti. Nota di C. Bur ali-Forti, 

 presentata dal Corrispondente R. Marcolongo. 



Neil' A. V. G. \_Analyse véctorielle gènérale, di C. Burali-Forti et 

 B. Marcolongo, Pavia, Mattei], voi. I, pag. 118 sono ottenute, con tre pro- 

 cedimenti diversi, sebbene simili, le condizioni affinchè le espressioni diffe- 

 renziali adP , uA«!P . uXdP (con « omografia ed u vettore funzioni del 

 punto P che varia in un campo a tre dimensioni) siano differenziali esatti 

 in tutto il campo. Tali condizioni, insieme ad altre, possono tutte essere 

 facilmente ridotte ad una sola; quella che deve esser soddisfatta affinchè 

 adii sia differenziale esatto in tutto il campo in cui varia P (campo a tre 

 dimensioni). Ciò ottengo mediante la riduzione di una notevole espressione 

 vettoriale alternata (n. 1). Inoltre, tenendo conto della recente ed importante 

 introduzione, fatta da P. Burgatti e v R. Marcolongo, degli operatori diffe- 

 renziali d/dP , div , rot , grad , Rot , A , A' su di una superficie (*) 

 trovo pure la condizione necessaria e sufficiente affinchè l'espressione diffe- 

 renziale adu, e tutte le altre che ne derivano, sia differenziale esatto 

 quando P varia su di una superficie a. 



1. Se a , /? sono omografie funzioni del punto P, allora, qualunque 

 siano i vettori x , y , costanti o funzioni di P si ha sempre 



(1) |? x • fiy - ~ y • fit = { K Bot K(of) - « K Rot K/S } (x A y) . 



Essendo a vettore arbitrario indipendente da P, costante, si ha, suc- 

 cessivamente, applicando note regole esposte in A. V. G. ( 2 ), 



i da . da ) . . T"** /i (dKa \ „ a idKa \ 



yXE ^ ^ x _ xX ^.^a, y=2¥ |^ ^a)) x(xAy) = 



[ }Rot(K/S • K«) — Rot Kp . K« ( a] X (x A y) = 

 a x { K Rot K(«/?) — a • K Rot K/J ( (x A y) 



che per l'arbitrarietà di a dimostra la (1) ( 3 ). 



(') P. Burgatti, / teoremi del gradiente, della divergenza, . . . Mem. della R. Acc. 

 delle Scienze di Bologna, ser. VII, tomo IV; R. Marcolongo, Su alcuni operatori super- 

 ficiali, Rend. R. Accad. dei Lincei, voi. XXVI, ser. 5", 2° sem. 1917, pag. 263 e segg. 



( ! ) Cfr. anche, A. Pensa, Alcuni operatori differenziali omografici, Atti R. Acc. di 

 Torino, voi. XLVIII (1912). 



(*) Introducendo l'operatore binario S di M. Pieri [A. V. G., voi. I, pag. 95] il 

 primo membro della (1) assume la forma 



S(«,ftr)x-S(«,/?x)y. 



Se nella (1) al posto di a si pone l'omografia assiale si ha la formula notevole 



{jp x ) (uAy) ~ (jp y ) (nAx) = 1 7P n " H(u ' grad a) ! (xAy) • 



