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2. In tutto ciò che segue a è omografia ed u , V sono vettori, funzioni 

 del punto P che varia, o in uno spazio (continuo, ecc.) a tre dimensioni, 

 ovvero in una superficie tf la cui normale nel punto generico P è parallela 

 al vettore unitario N che è pure funzione di P. 



Affinchè l'espressione differenziale 



(2) a du 



sia differenziale esatto in tutto il campo è necessario e sufficiente che 



12') RotK^«.^) = 0, 



ovvero 



(2») *KK„t„K(«.(^){N = 0, 



secondo che P varia nel campo a tre dimensioni o nella superficie tf . 



Per d , 6 spostamenti arbitrari di P si ha dalla (1) e da A. V. G., 

 voi. I, pag. 85, [6], 



d[ad\\) — S(adu) — da ■ óu — àa ■ du. 



== '!^ dP .^Lsp~ — óp- — dP 

 dP UF up 1 dP or dP ^ 



-lo»* trL.^ 



K RotK (a -^jhdP A ÓP) 



Ora: adu è differenziale esatto solamente quando, per d , 6 spostamenti 

 arbitrari il primo membro della formula precedente è nullo; sarà nullo 

 anche l'ultimo e per P variabile nel campo a tre dimensioni varrà la (2') 

 poiché dPf\SP è vettore arbitrario. 



È facile dimostrare che: tutte le formule di A. G. V. che contengono 

 gli operatori differenziali d/dP , div , rot , grad , Rot , A , A', ma non i 

 loro prodotti, valgono inalterate per i medesimi operatori con l'indice o", 

 cioè sulla superficie. Ciò posto valgono pure su <s (cioè per dP e SP nor- 

 mali ad N) le eguaglianze precedenti e l'ultimo membro dà la (2") poiché 

 dPAóP è vettore parallelo ad N. 



3. Del teorema ora dimostrato è importante conseguenza il seguente: 



L'espressione differenziale 

 (3) v X du 



è un differenziale esatto in tutto il campo solamente quando 



0. 



< 8 '> rot ( K ^ T ) = 



ovvero 



(*■) NXrot„( K (j») i v) = 



