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secondo che P varia in un campo a tre dimensioni o sulla super- 

 ficie <s. 



Qualunque sia il vettore costante a, è evidente che vXà è differen- 

 ziale esatto solamente quando è tale 



y X dn • a = H(v , a) dn . 



Siamo così ridotti al caso del n. 1 con a==H(v,a). Ma da A. V. Gr., 

 voi. I, pag. 84, [3] si ha subito 



K Rot K j H(v , a) ^ j 



(dPf\ ÒP) = 



E Rot K E ( K v , a j| (dPA ÓP) = 



H | rot ( K ^ v , aj I {dPAóP) = rot ~ v . aj X (dPAÓP) ■ a 



il che dimostra, per la (2 f ), la (3') poiché a, dPAóP sono vettori arbitrari. 

 Dimostra pure (cfr. n. 2) la (3") poiché a è arbitrario e dPASP è paral- 

 lelo ad N. 



4. Dal teorema del n. 3 risultano pure le condizioni affinchè 

 YAdn , xAadxi , a (v Adii) 



siano differenziali esatti bastando sostituire ad a, rispettivamente, le omo- 

 grafìe vA . vAcc , « • vA • 



Dal teorema dei n. 2 risulta pure la condizione affinchè vXadn sia 

 differenziale esatto poiché vXa dn = (Kav) X dn e basta quindi sostituire 

 K«v a v. 



Se nei teoremi del n. 2 e n. 3, e in quelli ora considerati, si pone 

 u = P — 0, con punto fìsso, cioè dn = dP. allora si trovano le condi- 

 zioni affinchè 



adP . vAdP , vAadP . a(vAdP) . vXdP , \XadP 



siano differenziali esatti, sia per P variabile in un campo a tre dimensioni, 

 sia per P variabile su a. In quest' ultimo caso le condizioni (2") , (3") equi- 

 valgono a quelle che da esse si ottengono sopprimendo l'indice e; come 

 il lettore può facilmente verificare. Inoltre per dn = dP si ritrovano, come 

 è ovvio, le condizioni esposte a pag. 118 di A. V. G. quando P varia in 

 un campo a tre dimensioni. 



Delle condizioni RotK^a-^j = , rot^K^v^ = per P varia- 

 bile nello spazio a tre dimensioni, si può dare una dimostrazione assai più 

 semplice di quella precedente, ma che peraltro, non solo non è valida per P 

 variabile sulla superfìcie <r, ma non dà, nemmeno in modo indiretto, le 



