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condizioni affinchè adu. , vXdu siano differenziali esatti su <r. Ecco la di- 

 mostrazione. Deve essere 



a du = dx. , vX = dm 

 ove x è vettore e m è numero funzione di P, ovvero 



a % dP = % dP 1 (K^v) X ^ = gradmX«!P, 



che, per essere dP vettore arbitrario, danno 



...... „ / du \ „ rfx T , 



(«) K^--j = K- , K-v = gradm. 



Dunque, affinchè a da , vXrfu siano differenziali esatti è necessario e suffi- 

 ciente che esistano x ed m soddisfacenti alle (a); ma in virtù delle [6], 

 [2] del n. 69 di A. V. G., dalle (a) si elimina x ed m operando con Rot 

 e rot e si ritrovano le condizioni già ottenute per altra via ('). 



5. Quando P varia sulla superficie tf, si ottengono dei casi particolari 

 assai interessanti se al posto dei vettori generici u , v si pongono (ordine 

 arbitrano) i vettori P — , N e alla omografia generica a si sostituisce 

 l'omografia dN/dP o la ciclica di questa (*). Sarebbe importante che questi 

 casi particolari fossero studiati e completamente svolti. Qui ne citiamo uno 

 come esempio. 



Affinchè u A dP sia differenziale esatto, variando P in <r, deve essere, 

 per la (2") 



(K Rot a uA) N = 



( l ) Operando nelle (a) con Hot e rot e facendo uso soltanto delle n. 44 e £3J 

 n. 39 di A. V. G. si dimostra che le condizioni in questione sono necessarie; mentre le 

 , [2] del n. 69 provano che sono necessarie e sufficienti. 



( a ) Per tali casi particolari saranno utili le formule seguenti nelle quali si è posto 

 X = dTS/dP. 



rot N = rot* N = , div N = div^N = li X 

 Rot 1 = , Rota A = — N/\ ~ N 

 grad X = grado- A = grad li X 

 gradai, X = grad I, X + I, A 2 . N = grad I, X + j (1, Xf - 2 U X j N 

 grad,, CX = I, A 2 . N = — grad I, X X N . N . 



Cfr. le mie Note, Gradiente, rotazione e divergenza in una superficie (Atti Acc. Torino, 

 voi. XLV); Alcune applicazioni alla geometria differenziale .. . (idem, voi. XLVI); Fon- 

 damenti per la geometria differenziale... (Rend. Palermo, tomo XXXIII). Nella prima 

 Nota per il gradiente su a di una omografia si tenga conto (Burgatti e Marcologo, loc. 

 cit.) del nuovo significato generale di grado-, che coincide con Grad solo quando è ap- 

 plicato a un numero. 



