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è una trascendente intera, rispetto ad a, e l'integrale 



e- a u ir> {a,2) da (a>0) 







è convergente. 



Allora la somma u(s) della serie è lo stesso integrale (3), aumentato 

 però della somma dei primi r termini della serie se r < 0. 



3. La (1) è sempre sommabile (B,r) (per ogni r) almeno in un punto: 

 il punto z = ('). Ora se consideriamo una semiretta qualunque p uscente 

 dal punto 0(^ = 0), i punti z ove la (1) è sommabile (B , r) (per un r 

 fissato) costituiscono un segmento di origine (dal quale va forse escluso 

 solo l'estremo), finito o non e che può anche eventualmente ridursi al punto 0. 



Variando p intorno ad 0, si ha che il luogo dei punti del piano ove 

 la (1) è sommabile (B , r) è una regione cr r , semplicemente connessa, che 

 può bene dirsi una stella di centro (azla Mittag-Leffler). Vanno esclusi 

 solo forse punti del contorno. 



Essa contiene sempre l'ordinario cerchio di convergenza ('). 



Variando l' intero r da — oo a -j- oo, si ha una successione di metodi 

 di Borei 



(4) (B , — 2) , (B , -1) , B . 0) , (B , 2) , (B , 1) , 



quindi le stelle di sommabilità della (1) costituiscono una successione illi- 

 mitata in due sensi 



(5) C-i , C-i , 0o , ffi , <*« , 



Esse sono tali che ciascuna contiene la segvente ( 3 ) ; perciò ammettono 

 due stelle-limite (Ter, per r = — oo ed r = -j- oo, tali che le contiene 

 tutte e t è in tutte contenuta ( 4 ). 



ff (a parte il contorno) è il luogo dei punti ove la (1) è sommabile 

 con qualcuno dei metodi (4) o, come diremo, è sommabile Bg (cioè eoi 

 metodo di Borei generalizzato) ( 5 ). 



t (a parte il contorno) è il luogo dei punti ove la (1) è sommabile 

 con tutti i metodi (4) o, come diremo, è sommabile Bt (cioè totalmente 

 sommabile). 



(') Come in ogni punto ove è convergente (N, n. 2). 



(*) Sul quale, si noti, non facciamo alcuna ipotesi, sicché può anche ridursi al 

 •entro 0. 



(*) Perchè se una serie è sommabile (B , r), lo è anche (B , r — 1) (N, n. 2). 



(*) Ma tuttavia contiene anch'essa il cerchio di convergenza (come le oy e a). 



( 5 ) Ed è importante che nella stella <j si può (come nel cerchio di convergenza) 

 operare sulla (1) con le regole ordinarie del Calcolo, algebrico e infinitesimale, e che 

 queste operazioni si riflettono in altrettante analoghe operazioni sulla somma u(z) dell» 

 serie (Per tutto ciò, cfr. le Note citate in principio). 



Rendiconti. 1918, Voi. XXVII, 1° Sem. 14 



