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4. Quando in un punto s V integrale (3) è convergente assolutamente, 

 dirò che la serie (1) è assolutamente sommabile (B , r). Che se poi è tale 

 per ogni valore dell'intero r, dirò che la (1) è assolutamente sommabile Bt. 



Teorema.. — Nei punti interni in senso stretto alla stella a r la 

 serie (1) è assolutamente sommabile (B , r — 1). 



Per il centro il teorema è evidente (') poiché M (r) (a,0) vale zero 

 a~ r 



se r>0 e i/ - — jry se r <_ , quindi (3) è assolutamente convergente 

 per ogni r. 



Consideriamo dunque un punto z di a r diverso da , e che non stia 

 sul contorno. In esso la (1) è sommabile (B , r), quindi l'integrale (3) è 

 convergente; ma poiché s è contenuto anche in a r -i (che contiene <J r ) sarà 

 del pari convergente l'integrale 



er a vy- x \a , s) da ; 



o 



sicché per giustificare l'enunciato, resta solo a dimostrare che lo è assolu- 

 tamente. 

 Essendo 



™ a n °°- (as) n 



u?- l \a , z) = > ?w_i s n+r ~ l — = s r ~ l > ^—^ = g r ~ l «"-"(a*, 1). 



r~o ni ni 



se si pone s = qe tò e poi qa = b, V integrale (6) diventa, a meno di un 

 fattore, 



. oo 6 



(7) e Pu ir -»(be a ,l)db. 



Jo 



Intanto dalla convergenza dell'integrale (3) in g, segue che ( 2 ) 



(8) lim e~ a u lr ~ iy {a , z) = , 



a=-t-oo 



ossia 



(9) lim e 9 u«- v {be if> , 1) = , 



4 = -l-00 



(') E segue anche dal n. 5. 



(*) Poiché u^ittfZ) è la derivata di M< r—I) {a , z) rispetto ad a ed intanto sussiste 



il teorema: Se f'(a) è la derivata di una trascendente intera f(a) ed esiste l'integrale 



dì e~ a f'(a) tra i limiti e -f-oo, esiste anche quello di e~ a f(a) e si ha inoltre 



lim e~ " f{a) = 0. Cfr. Bromwich, An introduction to the theory of infinite series, 

 a=-t-oo 



n. 101 (Macmillan and Co, London, 1908), 



