il ohe implica che la funzione di b 



(10) \e ? é r - x \bé* 



è limitata per b >. 0. 



Poiché il punto s prefissato in a r non giace sul contorno, possiamo 

 assumerne un secondo s, = Q t e' 9 di uguale argomento e di modulo g Q mag- 

 giore; e quanto abbiamo detto fin qui sussiste nel nuovo punto: in parti- 

 colare, sarà limitata, per q — g , la funzione (10) di b, ossia esiste un 

 numero K >> tale che sia 



| e Po u^- l) (he* , 1) j < K per b >0 , 



da cui 



\e P «""-"(fo* 6 , l)j< Ke ^Po P' per b > . 



Essendo q ^> g , è certamente convergente l' integrale rispetto a b tra 

 i limiti e -f- oo del secondo membro ('), quindi è convergente a fortiori 

 l'analogo integrale del primo membro, ossia l'integrale (7), è convergente 

 assolutamente. 



Cor. I. — In ogni punto interno in senso stretto a o> la (1) è 

 assolutamente sommabile (B , r — s) (s = 1 , 2 , 3 , . . .) 



Poiché tal punto è anche interno in senso stretto a oy_ s+1 . 



Cor. IL — In ogni punto interno in senso stretto alla stella r, 

 la (1) è assolutamente sommabile B^. 



Poiché tal punto è interno in senso stretto a ogni stella ov ( 2 ). 

 5. Le definizioni circa la sommabilità assoluta si applicano in parti- 

 colare per s = l, ossia ad una serie numerica qualunque 



(11) u -f- u x -J- ui + ■ ■ ■ 



( ! ) Vale K: (— — —) . 



\Q« Q I 



(*) Il Borei ha chiamato assolutamente -tommabile (senz'altro) la serie (1) quando 

 (3) è convergente assolutamente per ogni r positivo o nullo, ed ha considerata la regione 

 del piano ove la (1) è assolutamente sommabile, chiamandola poligono di sommabilità 

 (almeno nel caso in cui il raggio di convergenza della serie non è nullo). 



Poiché, come risulta dalle deflnizioni, una serie assolutamente sommabile Bt è anche 

 assolutamente sommabile (nel senso di Borei), e non viceversa in generale, si sarebbe 

 indotti ad asserire che il poligono di sommabilità contiene la nostra stella t. Invece ho 

 dimostrato (nelle Note già citate in principio) che il poligono e la stella coincidono. 



