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(a) 



Posto w = u A v si ha in generale 



H = -f- r (cos y . v + sen jp . w) 



per il punto generico H del piano 0|u. Si devono determinare r,q> in fun- 

 zione di s in modo che, H', indicando con gli apici le derivate rispetto ad s, 

 sia parallelo ad u . Ora si ha 



H' = r' (cos (f . v -f- cos y . w) -j- rg>'( — sen <p . v -f- cos g> . w) -f- 



da cui si ha subito 



(3) H' = (r'/r).(H — 0) + y'.uA(H — Ò)+fA(H— 0) 



u A H'= (r'/r) . u A (H — 0) — (y' + f X u) . (H — 0) ; 



ma i vettori uA(H — 0), H — sono ortogonali e quindi uAH'=0 

 solamente quando 



r>/r=0 e y '-|-fXu = 



il che dimostra il teorema 



2. Dando ad u, rispettivamente, i valori, t , n , b si ha, ordinatamente, 



e quindi: Per u coincidente con t,n,b i vettori H — sono paralleli 

 alle tangenti delle curve che hanno la normale principale paral- 

 lela, rispettivamente, ai vettori t , n , b ( 2 ). 



In particolare: Per u = t le linee sferiche H sono tali che P + (H — 0) 

 è una linea parallela alla linea P ( 3 ). 



3. Il punto H dato dalla (1) è funzione delle tre variabili indipendenti 

 s ,r , h e dà, quindi, un triplo sistema di superficie ; s = cosi, piani uscenti 

 da 0; r = cost., sfere di centro 0; A = cost,, coni di vertice 0. 



Per le derivate parziali di H rispetto ad s ,r ,h si ha 



(') Cfr. la mia Nota citata a pag. 205 per il piano a in cui ni — 0. Per m =f= le 

 traiettorie ortogonali dei piani a dipendono da una equazione differenziale di 2° or- 

 dine in qp . 



(*) C. Burali-Forti, Introduction à la Géométrie di/férentielle, Paris, Gauthkr- 

 Villars, 1897, pag. 145. 



( 3 ) C. Burali-Forti, Equivalenti omografiche delle formule di Frenet. Linee e su- 

 perficie parallele (Atti E. Acc. di Torino, voi. 52, 1916-17). 



-f- ri*A(cosy .v + senyw) 



<p'=l/T 



g>'=0 



SP' =-!/<? 



