La seconda e terza delle (4) si ottengono dalle (2), (a) in modo ovvio. 

 La prima si ottiene dalla (3) osservando che per essere r' = e (f — — fXu 

 si ha 



(p'u + f = f — f Xu. u = u A (f Au) 



e quindi 



(<p'ii -f- f ) A(H — 0) = { u A (f A u) ( A (H — .0) = — f Au X (H — 0) .u. 



Essendo i vettori (4) due a due ortogonali segue subito che: Le su- 

 perficie s ,r , h = cost., formano un sistema triplo ortogonale e le linee 

 comuni a due superfici qualunque del sistema sono di curvatura per le 

 superficie stesse. 



In particolare. Su di una superficie sferica di centro (r = cost.) 

 le linee s = cost., h = cost. formano un doppio sistema ortogonale il cui 

 inviluppo è descritto dal punto 



(n Af) Au 



(5) K = 0±r 



mod (u A f ) 



Che il doppio sistema è ortogonale risulta subito dalle (4). Per l'invi- 

 luppo deve essere (7>H/7>s) A (~òK/~òh) = 0, cioè, per le (4) f Au(H — 0)=0; 

 ma si ha pure u X (H — 0) = e quindi H — deve esser parallelo ad 

 (uAf)Au, il che dà, ovviamente la (5) [cfr. mia Nota, 1° teorema a 

 pag. 208 per i casi particola! i u = t,n,b rispettivamente, per i quali 

 la (5) dà rispettivamente 



K = 0± rb , K = Ort rf/mod f , K = ± rt] . 



4. Ci proponiamo ora di determinare : tutte le superficie rigate che 

 hanno la linea P per linea di curvatura. 



Per il vettore unitario N parallelo alla normale in P alla superfìcie 

 si deve avere 



N — cos (p . n + sen y • b 



oon (f funzione di s tale che N£ parallelo a t, affinchè la linea P possa 

 essere di curvatura per la rigata che contiene la linea P. Siamo cioè nel 

 caso del n. 1 per r = 1 , u == t , v , w = b e dovrà quindi essere 



= — f'Xt = l/T. 



Se u è il vettore unitario che dà la direzione della generatrice uscente 

 da P, ed u fa l'angolo ip, funzione di s , con t , allora 



u = cos ifj . t -f sen xp . N A t 



e si ha il teorema: 



Tutte le superficie rigate che hanno la linea P come una linea di 



Rendiconti. 1918, Voi. XXVII, 1° Sem. 16 



