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curvatura sono descritte dalla retta Pu, essendo u vettore unitario, fun 

 sione di s, dato da 



(6) u = cos xp . t -{- sen xp ] sen ( h -f- àrl.n — cos ( A -{- ^s/rj.b 



oye xp è funzione arbitraria di s e h è una costante arbitraria. 



Segue pure [cfr. n. 2] che : Essendo P linea di curvatura per la 

 rigata Pu, il punto P -j- rN , \con r costante arbitraria, descrive una 

 linea parallela alla linea P ('). 



(') Come problemi analoghi si hanno i seguenti: determinare u in modo che la 

 linea P sia, traiettoria ortogonale delle generatrici, o geodetica, o 

 assintotica , o linea di stringimento per la rigata Pu. 



Nei primi tre casi è ovvio che basta porre 



u = cos tpii -|- sen xph , cos + sen xpt , cos xpt + sen ipn , 



rispettivamente, con xp funzione arbitraria di s . 

 Per il quarto caso si ha invece: 



(a) u = cos xpt — Q\p' sen ipn -\- j/l — {Qxp'y sea ^ 



con xp funzione di s tale che (Qxp'y 1 tw tutto il campo di variazione di s, ma del 

 resto arbitraria. 



Basta infatti osservare che la linea P è di stringimento per la rigata Pu solo 

 quando [cfr. 2 a NotaJ u' X t = 0; ma si ha u X t = cos xp e quindi, derivando. uXd = 

 = — Qtp'senxp, vale a dire 



Supposto che la linea P sia di stringimento per la rigata Pu ed avendo N il pre> 

 cedente significato si ha 



perchè u' è normale ad u e a t, con k funzione di s e precisamente, come è ovvio, 

 A = (tXu/\u')/seni/i. Nel punto generico Q = P -\- xil della generatrice Pu, per il 

 vettore N parallelo alla normale in Q alla superficie, si può evidentemente porre 



u = cos xpt — Qtp' sen xpn -j- 



e dovendo essere U* = 1 si ha A=j/l — (gxp'f sen xp . 



No = (t A l)/sen tf> e quindi u' = /cN , 



N = cose. No + sen e. No A » ; 



ma d'altra parte N è parallelo a 



(t + xm!) f\w = sen *P^o + x k . No A 11 



e quindi si ha 



tgfl = 



xk 



cioè 



sen xp 

 k 



sen xp ' 



x 



e senxpjk è il parametro distributore di Chasles Derivando la (a) rispetto ad s si può 

 ottenere k e sen xp/k in funzione di xp e degli elementi della linea P. 



